FZU 1759-Super A^B mod C （欧拉函数+降幂公式）

Problem 1759 Super A^B mod C

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Problem Description

Given A,B,C, You should quickly calculate the result of A^B mod C. (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^1000000).

Input

There are multiply testcases. Each testcase, there is one line contains three integers A, B and C, separated by a single space.

Output

For each testcase, output an integer, denotes the result of A^B mod C.

Sample Input

3 2 42 10 1000

Sample Output

124

Source

求a的b次方余c，然而b是一个超大整数，远远大于long long 的表示范围，但是你用大整数乘法也做不了，
因为要取模。。。。呢就直接切入正题好了，既然幂次很大，呢肯定是要降幂了，其实做这道题你就能想到
肯定有一种降幂公式，因为要用到欧拉函数，呢这里就讲一下欧拉函数的具体概念及其求法好了。。。

欧拉函数是指：对于一个正整数n，小于n且和n互质的正整数（包括1）的个数，记作φ(n) 。

通式：φ(x)=x*(1-1/p1)*(1-1/p2)*(1-1/p3)*(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）。

对于质数p，φ(p) = p - 1。注意φ(1)=1.

欧拉定理：对于互质的正整数a和n，有aφ(n) ≡ 1 mod n。

欧拉函数是积性函数——

若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)。

若n是质数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质。

特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)

欧拉函数还有这样的性质：

设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有E(N)=E(N / a) * a；若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有：E(N) = E(N / a) * (a - 1)。
求欧拉函数的具体代码：

ll ol(ll x)
{
ll i,res=x;
for(i=2;i*i<=x;i++)
{
if(x%i==0)
{
res=res-res/i;
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x>1)
res=res-res/x;
return res;
}

欧拉函数知道后，呢就直接上降幂公式了，该公式的证明就不在说了，挺难的。
直接上公式吧，毕竟还是很好记的。。。。

降幂公式：

    （降幂公式中
phi() 为欧拉函数）

#include<map>
#include<stack>
#include<queue>
#include<vector>
#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef __int64  ll;
#define inf 1000000000
#define mod 1000000007
#define  maxn  1000006
#define  lowbit(x) (x&-x)
#define  eps 1e-10
char s[maxn];
ll ol(ll x)
{
ll i,res=x;
for(i=2;i*i<=x;i++)
{
if(x%i==0)
{
res=res-res/i;
while(x%i==0)
x/=i;
}
}
if(x>1)
res=res-res/x;
return res;
}
ll q(ll x,ll y,ll MOD)
{
ll res=1;
while(y)
{
if(y%2)
res=res*x%MOD;
x=x*x%MOD;
y/=2;
}
return res;
}
int main(void)
{
ll a,c,i,ans,tmp,b;
while(scanf("%I64d%s%I64d",&a,s,&c)!=EOF)
{
ans=0;b=0;tmp=ol(c);
ll len=strlen(s);
for(i=0;i<len;i++)
b=(b*10+s[i]-'0')%tmp;
b+=tmp;
ans=q(a,b,c);
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
}