【二分+有源汇上下界可行流】BZOJ2406[矩阵]题解

题目概述

直接盗图。

解题报告

哇，完全不会啊，于是去看题解。但看到“二分+上下界网络流”之后我就打算自己想一想，有了“二分”这个重要信息，还是能琢磨出些门道的：

二分答案 mid ，那么对于 ∀i 均有 |∑mj=1(Ai,j−Bi,j)|≤mid ，记录矩阵 A 的前缀和 SA 和矩阵 B 的前缀和 SB 。那么该不等式等价于 |SAi−SBi|≤mid ，即：

SAi−mid≤SBi≤SAi+mid。

这可以看作是一条有上下界的边，那么我们连超级源 S -> i 上下界为 [SAi−mid,SAi+mid] 的边。同理我们还需要连 j -> 超级汇T 上下界为 [SAj−mid,SAj+mid] 的边。

还要注意到题目里的另一个信息： Bi,j∈[L,R] ，所以我们还需要建 i -> j 上下界为 [L,R] 的边。

最后用有源汇上下界可行流判断是否可行。

示例程序

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=200,maxm=200,maxe=2*maxn+maxn*maxm+2*maxm+3,MAXINT=((1<<30)-1)*2+1;

int n,m,l,r,S,T,SS,TT,Sx[maxn+5],Sy[maxm+5],num[maxn+maxm+5],ful;
int E,lnk[maxn+maxm+5],cur[maxn+maxm+5],dis[maxn+maxm+5],que[maxn+maxm+5];bool vis[maxn+maxm+5];
struct Edge
{
int cap,flow,nxt,son;Edge() {}
Edge(int a,int b,int c,int d) {cap=a;flow=b;nxt=c;son=d;}
};
Edge e[2*maxe+5];

void Add(int x,int y,int L,int R)
{
e[E]=Edge(R-L,0,lnk[x],y);lnk[x]=E++;
e[E]=Edge(0,0,lnk[y],x);lnk[y]=E++;
num[x]-=L;num[y]+=L;
}
bool Bfs(int st,int gl)
{
memset(vis,0,sizeof(vis));
int Head=0,Tail=0;que[++Tail]=st;vis[st]=true;dis[st]=0;
while (Head!=Tail)
{
int x=que[++Head];
for (int j=lnk[x];~j;j=e[j].nxt)
if (e[j].cap>e[j].flow&&!vis[e[j].son])
{
que[++Tail]=e[j].son;vis[e[j].son]=true;
dis[e[j].son]=dis[x]+1;
}
}
return vis[gl];
}
int Dfs(int x,int gl,int MIN=MAXINT)
{
if (!MIN||x==gl) return MIN;
int flow=0,f;
for (int &j=cur[x];~j;j=e[j].nxt)
if (dis[x]+1==dis[e[j].son]&&(f=Dfs(e[j].son,gl,min(MIN,e[j].cap-e[j].flow))))
{
e[j].flow+=f;e[j^1].flow-=f;
flow+=f;MIN-=f;if (!MIN) break;
}
return flow;
}
int Dinic(int st,int gl)
{
int MAX=0;
while (Bfs(st,gl))
{
memcpy(cur,lnk,sizeof(lnk));
MAX+=Dfs(st,gl);
}
return MAX;
}
void Build(int mid)
{
E=0;memset(lnk,255,sizeof(lnk));memset(num,0,sizeof(num));ful=0;
for (int i=1;i<=n;i++) Add(S,i,Sx[i]-mid,Sx[i]+mid);
for (int j=1;j<=m;j++) Add(j+n,T,Sy[j]-mid,Sy[j]+mid);
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=m;j++)
Add(i,j+n,l,r);
for (int i=S;i<=T;i++)
if (num[i]>0) Add(SS,i,0,num[i]),ful+=num[i]; else
if (num[i]<0) Add(i,TT,0,-num[i]);
Add(T,S,0,MAXINT);
}
int main()
{
freopen("program.in","r",stdin);
freopen("program.out","w",stdout);
scanf("%d%d",&n,&m);S=0;T=n+m+1;SS=T+1;TT=SS+1;
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1,x;j<=m;j++)
scanf("%d",&x),Sx[i]+=x,Sy[j]+=x;
scanf("%d%d",&l,&r);
int L=0,R=200000;
while (L<=R)
{
int mid=L+(R-L>>1);Build(mid);
if (Dinic(SS,TT)==ful) R=mid-1; else L=mid+1;
}
return printf("%d\n",L),0;
}