扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法是为了解决这样一个问题：

给定两个非零的整数a和b，求一组正整数(x, y)，使得ax+ by = gcd(a, b)成立，其中gcd(a, b)表示a 和b 的最大公约数。



有前面用到的欧几里得算法求最大公约数的方法可知，它总是把gcd(a, b)转化为求解gcd(b, a%b)，当b 变为0的时候返回a，此时a 就等于gcd。也就是说欧几里得算法结束的时候变量a 中存放的是gcd，变量b 中存放的是0，因此此时显然有a*1 + b*0 = gcd(a, b)成立，此时有x = 1, y = 0成立。

int gcd(int a, int b)
{
if(b == 0) return a;
else
return gcd(b, a%b);
}

所以，不妨我们用上面的欧几里得算法的过程来计算x 和y。

当计算gcd(a, b)时，有ax1 + by1 = gcd成立；而在下一步计算gcd(b, a%b)时，又有bx2 + (a%b)y2 = gcd成立。由此ax1 + by1 = bx2 + (a%b)y2成立。有考虑到有关系a%b = a - (a/b)*b成立，因此ax1 + by1 = bx2 + (a - (a/b)*b)y2成立。整理式子之后得到ax1 + by1
= ay2 + b(x2 - (a/b)y2)。

因此，对比等号左右两边可以马上得到下面的推到公式：

x1 = y2

y1 = x2 - (a/b)y2

由此便可以通过x2和y2来反推x1 和y1了。于是只需要到达递归边界、不断退出的过程中根据上面的公式计算x和y，就可以得到一组解。代码如下：

int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
if(b == 0)
{
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int g = exGcd(b, a%b, x, y);  //递归计算exGcd(b,a%b)
int temp = x;  //存放x的数值
x = y;
y = temp - (a/b)*y;
return g;
}