BZOJ3122 [Sdoi2013]随机数生成器 数论
2017-07-27 18:49
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题意:对于递推式X_{i}=(a*X_{i-1}+b)%p | X_{1}=c 求最小的n满足X_{n}=t 其中a,b,c,t,p为给定非负整数且p为质数,0<=a<=p-1,0<=b<=p-1,2<=p<=10^9
Sol:
把递推式展开得 X_{n}=x1*a^(n-1)+(a^(n-1)+a^(n-2)...a^0)*b
括号里是等比数列,根据求和公式得 X_{n}=x1*a^(n-1)+b*(1-a^(n-1))/(1-a)=a^(n-1)+b*(a^(n-1)-1)/(a-1)=t
左右同乘(a-1) -> 拆括号+合并同类项得a^(n-1)=(t*(a-1)+b)/(x1*(a-1)+b)
模意义下除法,用逆元搞
然后转化成已知a^(n-1)求n,离散对数问题,用BSGS做
最后注意下上边的式子中分母不能是0,特判a=1
此外还要特判t==x1 、a=0 、a=0&&b=1 等情况
Code:
Sol:
把递推式展开得 X_{n}=x1*a^(n-1)+(a^(n-1)+a^(n-2)...a^0)*b
括号里是等比数列,根据求和公式得 X_{n}=x1*a^(n-1)+b*(1-a^(n-1))/(1-a)=a^(n-1)+b*(a^(n-1)-1)/(a-1)=t
左右同乘(a-1) -> 拆括号+合并同类项得a^(n-1)=(t*(a-1)+b)/(x1*(a-1)+b)
模意义下除法,用逆元搞
然后转化成已知a^(n-1)求n,离散对数问题,用BSGS做
最后注意下上边的式子中分母不能是0,特判a=1
此外还要特判t==x1 、a=0 、a=0&&b=1 等情况
Code:
#include<bits/stdc++.h> #define debug(x) cout<<#x<<"="<<x<<endl typedef long long ll; using namespace std; ll p,a,b,x1,tar; int T; map<ll,int> M; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();} while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } ll PowerMod(ll x,ll y,ll mod) { x%=mod;ll res=1; while(y) { if(y&1) res=(res*x)%mod; x=(x*x)%mod;y>>=1; }return res; } int bsgs(ll x,ll y) // x ^ res = y { M.clear(); int mr=ceil(sqrt(p)); ll num=y,base=PowerMod(x,mr,p); for(int i=0;i<=mr;i++) { M[num]=i; num=num*x%p; } num=base; for(int i=1;i<=mr;i++) { if(M.count(num)) return i*mr-M[num]; num=num*base%p; } return -2; } int main() { T=read(); while(T--) { p=read();a=read();b=read();x1=read();tar=read(); if(tar==x1){puts("1");continue;} if(a==0){printf("%d\n",(tar==b)?2:-1);continue;} if(a==1&&b==0){puts("-1");continue;} if(a==1) printf("%d\n",((tar-x1)*PowerMod(b,p-2,p)%p+p)%p+1);// x1+(n-1)*b=tar else // (a^(n-1))*x1+b*(a^(n-1)-1)/(a-1)=tar { ll num=(a-1+p)%p,inv=PowerMod((x1*num+b)%p,p-2,p); printf("%d\n",bsgs(a,(tar*num+b)%p*inv%p)+1); } } return 0; }
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