矩阵的最小路径和

给定一个矩阵m，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是路径和，返回所有的路径中最小的路径和。

方法一： 递归

#coding=utf-8

def solution(m,l):
n=[]
l+=m[0][0]
if len(m)==1 and len(m[0])==1:
return l
if len(m)==1 and len(m[0])>1:
n.append(m[0][1:])
ans=solution(n,l)
return ans
if len(m)>1 and len(m[0])==1:
ans=solution(m[1:],l)
return ans
for i in range(len(m)):
n.append(m[i][1:])
ans=min(solution(m[1:],l),solution(n,l))
return ans

方法二： 动态规划 复杂度O(m*n)

dp[i][j]表示从左上角(0,0)位置走到(i,j)位置的最小路径和，dp的第一行和第一列可以直接初始化，因为第一行只能从左边走过来，第一列只能从上面走过来。

#coding=utf-8

def solution(m):
dp=[[0 for i in range(len(m[0]))] for j in range(len(m))]
dp[0][0]=m[0][0]
for i in range(1,len(m[0])):
dp[0][i]=dp[0][i-1]+m[0][i]
for i in range(1,len(m)):
dp[i][0]=dp[i-1][0]+m[i][0]
for i in range(1,len(m)):
for j in range(1,len(m[0])):
dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+m[i][j]
return dp[len(m)-1][len(m[0])-1]

方法三： 动态规划空间压缩

只用一个行数组arr记录第一行、第二行…一次计算。直到最后一行，得到arr[N-1]就是左上角到右下角的最小路径和。初始化，第一次arr的值为dp[0][i]，之后先变arr[0]=arr[0]+m[i][0]，再继续向后面。

#coding=utf-8

def solution(m):
dp=[0 for i in range(len(m[0]))]
dp[0]=m[0][0]
for i in range(1,len(m[0])):
dp[i]=m[0][i]+dp[i-1]
for i in range(1,len(m)):
dp[0]=dp[0]+m[i][0]
for j in range(1,len(dp)):
dp[j]=m[i][j]+min(dp[j-1],dp[j])
return dp[-1]