概率分析和随机算法
2017-07-27 11:25
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一、随机分析
考虑一个雇佣问题,面试n个人,在面试的过程中,只要更为优秀的人出现,就雇佣更为优秀的人,但是更换人选需要花费一笔费用c,现在估算这笔费用。
这个问题相当于维护一个当前的“获胜者”。
最坏的情形当然是替换n次,那么费用就会是cn.
随机的情况:
第i个人比前i-1个人更为优秀的概率为1/i,那么期望E[X] = 1/1 +1/2 +1/3 + …… = ln n + O(1),也就是说,随机情况下,平均起来大概雇佣了lnn个人,费用为clnn。
二、随机算法
如何产生一个随机排列的数组?只需证明或等等同排列的概率为1/n!。
方案一:给原数组中的每个成员赋一个代表优先级值,这个值随机产生,然后按照优先级排序
PERMUTE-BY-SORTING(A)
n = A.length
let P[1..n] be a new array
for i =1 to n
P[i] = RANDOM(1,n^3) # 1~n^3是为了让P中所有优先级尽可能唯一
sort A, using P as sor keys #花费代价可为Θ(nlgn)
若想得到一个固定排序的序列,那么概率为1/n * 1/(n-1) * 1/(n-2) * ... * 1/2 * 1/1 = 1/n!,得证。
方案二:原址排列给定数组
当i = n时,给定排列的概率为1/n!.
所以只需要证明方案二的方法中前(i-1)个位置上的排序被包含的概率为(n-i+1)!/n!即可。使用数学归纳法可证,1/(n-i+1) * (n-i+1)!/n! = (n-i)!/n!。
方案二要比方案一好,因为它没有新建优先级数组,节省了空间,也没有进行比较。不过随机换位置的时间开销没办法估计。
考虑一个雇佣问题,面试n个人,在面试的过程中,只要更为优秀的人出现,就雇佣更为优秀的人,但是更换人选需要花费一笔费用c,现在估算这笔费用。
这个问题相当于维护一个当前的“获胜者”。
最坏的情形当然是替换n次,那么费用就会是cn.
随机的情况:
第i个人比前i-1个人更为优秀的概率为1/i,那么期望E[X] = 1/1 +1/2 +1/3 + …… = ln n + O(1),也就是说,随机情况下,平均起来大概雇佣了lnn个人,费用为clnn。
二、随机算法
如何产生一个随机排列的数组?只需证明或等等同排列的概率为1/n!。
方案一:给原数组中的每个成员赋一个代表优先级值,这个值随机产生,然后按照优先级排序
PERMUTE-BY-SORTING(A)
n = A.length
let P[1..n] be a new array
for i =1 to n
P[i] = RANDOM(1,n^3) # 1~n^3是为了让P中所有优先级尽可能唯一
sort A, using P as sor keys #花费代价可为Θ(nlgn)
若想得到一个固定排序的序列,那么概率为1/n * 1/(n-1) * 1/(n-2) * ... * 1/2 * 1/1 = 1/n!,得证。
方案二:原址排列给定数组
RANDOMIZE-IN-PLACE(A) n = A.length for i = 1 to n swap A[i] with A[RANDOM(i,n)]对于前i-1个位置上的某个固定的排序,它出现的概率为后面n-i+1个位置上的排序的排序种类/总的排序种类,即(n-i+1)!/n!。
当i = n时,给定排列的概率为1/n!.
所以只需要证明方案二的方法中前(i-1)个位置上的排序被包含的概率为(n-i+1)!/n!即可。使用数学归纳法可证,1/(n-i+1) * (n-i+1)!/n! = (n-i)!/n!。
方案二要比方案一好,因为它没有新建优先级数组,节省了空间,也没有进行比较。不过随机换位置的时间开销没办法估计。
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