BZOJ 1002 [FJOI2007]轮状病毒

1002: [FJOI2007]轮状病毒

Description

　　轮状病毒有很多变种，所有轮状病毒的变种都是从一个轮状基产生的。一个N轮状基由圆环上N个不同的基原子和圆心处一个核原子构成的，2个原子之间的边表示这2个原子之间的信息通道。如下图所示



　　N轮状病毒的产生规律是在一个N轮状基中删去若干条边，使得各原子之间有唯一的信息通道，例如共有16个不同的3轮状病毒，如下图所示



　　现给定n(N<=100)，编程计算有多少个不同的n轮状病毒

Input

　　第一行有1个正整数n

Output

　　计算出的不同的n轮状病毒数输出

Sample Input

3

Sample Output

16
　　用高精度自然不用说。
　　据说物竞的同学都会基尔霍夫矩阵，他们说很容易得到：f[i]=f[i-1]*3-f[i-2]+2
　　我们当然不会证，但不代表别人不会证：VFK神犇
　　但是，这当然不是唯一的方法。
　　法2：mcfx说，这不是组合数么-->就是组合数 这是O(n^2)的。
　　法3： 有位神犇打表，发现分奇偶后是斐波那契数与平方-->斐波那契
　　看来这种题也能有多种做法啊。

　　高精度模板如下（+、-、*）：

const int BASE=100000000;
struct NUM {int aa[100], len;};
NUM plu(struct NUM x,int k) {
x.aa[1]+=k;
for( int j = 1; x.aa[j]>=BASE; j++ ) x.aa[j]%=BASE, x.aa[j+1]++;
return x;
}
NUM mul(struct NUM x,int k) {
for( int i = 1; i <= x.len; i++ ) x.aa[i]*=k;
for( int i = 1; i <= x.len; i++ ) {
x.aa[i+1]+=x.aa[i]/BASE;
x.aa[i]%=BASE;
}
if(x.aa[x.len+1]) x.len++;
return x;
}
NUM sub(struct NUM x,struct NUM y) {
for( int i = 1; i <= x.len; i++ ) {
x.aa[i]-=y.aa[i];
if(x.aa[i]<0) x.aa[i]+=BASE, x.aa[i+1]--;
}
while(x.aa[x.len]==0) x.len--;
return x;
}

　　但是，如果我这样就把这道题给水了过去，连我都会过意不去。因为，这种题既然3种方法都是对的，那它们为什么等价？

　　我早就说过了，我不会证。但列一下我该列的还是绰绰有余了。

　　法1：f[i]=f[i-1]*3-f[i-2]+2 行列式递推

　　法2：∑​nk=1​​C(n+k−1,k⋅2−1)⋅​k/​​n​​ 组合计数

　　法3：g[0]=2,g[1]=1,g[i]=g[i-1]+g[i-2](i>=2)-->这个跟下面那个挺像的

h[0]=1,h[1]=1,h[i]=h[i-1]+h[i-2](i>=2)-->这是斐波那契的递推式

　　　　 f[i]= g[i]*g[i] 若i为奇数

5*h[i-1]*h[i-1] 若i为偶数 打表