[bzoj4318]OSU!

4318: OSU!

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Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。

我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子:

一共有n次操作，每次操作只有成功与失败之分，成功对应1，失败对应0，n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数，这x个1不能被其他连续的1所包含（也就是极长的一串1，具体见样例解释）

现在给出n，以及每个操作的成功率，请你输出期望分数，输出四舍五入后保留1位小数。

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数，表示每个操作的成功率。

Output

只有一个实数，表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。

Sample Input

3

0.5

0.5

0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】

000分数为0，001分数为1，010分数为1，100分数为1，101分数为2，110分数为8，011分数为8，111分数为27，总和为48，期望为48/8=6.0

N<=100000

Source

sol：

考虑暴力，f[i]表示到i的期望价值，那么枚举一下连续的1的个数，那么这个1提供的期望价值就可以算出来。

从暴力出发，我们发现可以把每个极长串的期望价值分开算。设f[i][j]表示串长的j次方的期望价值。

那么对于0次方，实际上就是以i为结尾的极长串的出现个数。

对于1次方，设原来的极长串长为len，则现在为len+1，那么f[i][1]的期望就是f[i-1][1]*x+f[i][0]，因为我们算的就是len的期望和1的期望(0次方和1次方)。

对于2次方，同理，(len+1)^2=len^2+2*len+1，那么我们弄一下这些的期望就行了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<string>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef double db;
const int N=1100000;
int n,m;
db a
;
ld f
[4],ans;
inline int read()
{
char c;
int res,flag=0;
while((c=getchar())>'9'||c<'0') if(c=='-')flag=1;
res=c-'0';
while((c=getchar())>='0'&&c<='9') res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
return flag?-res:res;
}
int main()
{
freopen("osu.in","r",stdin);
freopen("osu.out","w",stdout);
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%lf",&a[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
f[i][0]=(f[i-1][0]+(1-a[i-1]))*a[i];
f[i][1]=f[i-1][1]*a[i]+f[i][0];
f[i][2]=(f[i-1][2]+2*f[i-1][1])*a[i]+f[i][0];
f[i][3]=(f[i-1][3]+3*f[i-1][2]+3*f[i-1][1])*a[i]+f[i][0];
}
for(int i=1;i<n;++i)
ans+=f[i][3]*(1-a[i+1]);
ans+=f
[3];
printf("%.1lf",(db)ans);
}