BZOJ 3670: [Noi2014]动物园 KMP题解

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Description

近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。

某天，园长给动物们讲解KMP算法。

园长：“对于一个字符串S，它的长度为L。我们可以在O(L)的时间内，求出一个名为next的数组。有谁预习了next数组的含义吗？”

熊猫：“对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作next[i]。”

园长：“非常好！那你能举个例子吗？”

熊猫：“例S为abcababc，则next[5]=2。因为S的前5个字符为abcab，ab既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出next[1] = next[2] = next[3] = 0，next[4] = next[6] = 1，next[7] = 2，next[8] = 3。”

园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在O(L)的时间内求出next数组。

下课前，园长提出了一个问题：“KMP算法只能求出next数组。我现在希望求出一个更强大num数组一一对于字符串S的前i个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作num[i]。例如S为aaaaa，则num[4] = 2。这是因为S的前4个字符为aaaa，其中a和aa都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而aaa虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，num[1] = 0,num[2] = num[3] = 1,num[5] = 2。”

最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出num数组呢？

特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出num[i]分别是多少，你只需要输出对1,000,000,007取模的结果即可。

Input

第1行仅包含一个正整数n ，表示测试数据的组数。随后n行，每行描述一组测试数据。每组测试数据仅含有一个字符串S，S的定义详见题目描述。数据保证S 中仅含小写字母。输入文件中不会包含多余的空行，行末不会存在多余的空格。

Output

包含 n 行，每行描述一组测试数据的答案，答案的顺序应与输入数据的顺序保持一致。对于每组测试数据，仅需要输出一个整数，表示这组测试数据的答案对 1,000,000,007 取模的结果。输出文件中不应包含多余的空行。

Sample Input

3

aaaaa

ab

abcababc

Sample Output

36

1

32

HINT

n≤5,L≤1,000,000

Source

一看这道题，显然就要用KMP算法，下面是代码，题解在后面

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
const int MAXN=1001000;
using namespace std;
int T;
char s[MAXN];
long long fail[MAXN],num[MAXN];
long long final;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
final=1;num[1]=1;
scanf("%s",s);
int len=strlen(s);
fail[0]=0;fail[1]=0;num[0]=0;num[1]=1;
int k=0;
for(register int i=1;i<len;i++){
int j=fail[i];
while(j&&s[i]!=s[j]) j=fail[j];
fail[i+1]=s[i]==s[j]?j+1:0;
num[i+1]=num[fail[i+1]]+1;
while(k&&s[i]!=s[k]) k=fail[k];
if(s[i]==s[k])k++;
while(k>((i+1)>>1))k=fail[k];
final=(final*(num[k]+1))%1000000007;
}
printf("%lld\n",final);
}
return 0;
}

这里的fail用的是刘汝佳的fail，表示的是下一位，所以要注意，然后我们只需要用num来记录一个位置往前跳多少次可以跳到起点，一定要注意这里的num和题目中的num不同，然后我们研究这样一张图



显然，当在计算A点对答案的贡献的时候，我们需要持续跳fail，直到这个fail在mid的左边，那么我们要如何快速跳呢，显然可以倍增对吧，然而倍增好像很难写（有细节），所以我们考虑更优的解法，也就是O（n）的解法，显然我们只需要动态地用代码中的k来维护这个mid值就可以了，因为A的右边一个位置的fail往前跳啊跳啊，跳到现在的mid的，然而我们会发现，所有的A的右边那个点的fail指针往前指的位置，都只能是A这个位置的fail指针及其往前跳的fail指针指的位置+1，而且如果我们在A+1这个位置没有匹配上，或者说匹配到了mid的很左边，那么A+2这个位置还会匹配到之前的mid的右边吗？显然是不行的，所以我们只需要这样动态地维护就好啦，如果还有不懂的，欢迎联系qq：2632812444