51Nod-1522-上下序列

ACM模版

描述

题解

十分巧妙的一道动态规划问题，应该算是区间 dp 吧！

首先我们需要考虑，大的数应该更趋向于中间，而小的数则是在两边，所以我们不妨从大到小遍历，不断往已有序列进行插入，插入的方式决定了状态的转移，每次插入的时候我们都同时插入两个，插入方式有三种：两端、首、尾，每次插入的时候都是在已有序列紧密的挨着进行插入，这样我们就可以保证每次插入后序列都是合法的，已插入的数都大于后插入的数。那么，我们就算是找到转移方程了，但是还有限制条件，所以呢，我们每个插入的方案都要进行判断是否可以成功转移，如果可以就转移，不可以就挂。

说到初始化问题，因为我们都是成对儿插入，所以一开始就是长度为 2 的区间，那么先将所有的默认为 0，然后判断是否插入合法，此时的插入只有一种，就是两个紧挨着，你可以理解为两端插入，如果是合法的插入，就置为 1 即可。

剩下的就没有什么可说了，看代码吧，在判断是否可以插入时最好画一下图，否则容易迷瞪……我就是迷瞪了。

很好的一道 dp 问题，可以好好品味品味！

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int MAXN = 72;
const int MAXK = 111;

int n, k;
char s[5];
int limit[MAXK][3];
ll dp[MAXN][MAXN];

// 0 < 1 <= 2 = 3 >= 4 >    这个部分最后画一下图，不然容易迷
bool charge(int t1, int t2, int l, int r)
{
for (int i = 0; i < k; i++)
{
if ((limit[i][0] == t1 && limit[i][1] == t2) || (limit[i][0] == t2 && limit[i][1] == t1))
{
if (limit[i][2] == 0 || limit[i][2] == 4)
{
return false;
}
}
else if (limit[i][0] == t1 || limit[i][0] == t2)
{
if (limit[i][1] >= l && limit[i][1] <= r)
{
if (limit[i][2] >= 2)
{
return false;
}
}
}
else if (limit[i][1] == t1 || limit[i][1] == t2)
{
if (limit[i][0] >= l && limit[i][0] <= r)
{
if (limit[i][2] <= 2)
{
return false;
}
}
}
}

return true;
}

int main()
{
scanf("%d%d", &n, &k);

for (int i = 0; i < k;i++)
{
scanf("%d%s%d", &limit[i][0], s, &limit[i][1]);
//  < <= = >= >
if (s[0] == '<' && s[1] != '=')
{
limit[i][2] = 0;
}
else if (s[0] == '<')
{
limit[i][2] = 1;
}
else if (s[0] == '=')
{
limit[i][2] = 2;
}
else if (s[0] == '>' && s[1] == '=')
{
limit[i][2] = 3;
}
else
{
limit[i][2] = 4;
}
}
for (int i = 2; i <= 2 * n; i += 2)             //  区间长度
{
for (int j = 1; j <= 2 * n - i + 1; j++)    //  左端点
{
int k = j + i - 1;                      //  右端点
dp[j][k] = 0;
if (i == 2)
{
if (charge(j, k, j + 1, k - 1))
{
dp[j][k] = 1;
}
}
else
{
if (charge(j, j + 1, j + 2, k))
{
dp[j][k] += dp[j + 2][k];
}
if (charge(k - 1, k, j, k - 2))
{
dp[j][k] += dp[j][k - 2];
}
if (charge(j, k, j + 1, k - 1))
{
dp[j][k] += dp[j + 1][k - 1];
}
}
}
}

printf("%lld\n", dp[1][2 * n]);

return 0;
}