【数论】扩展欧几里得

欧几里得算法用于求解最大公因数

主要原理：

int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}

扩展欧几里得算法用于求解二元一次方程

首先了解一下裴蜀定理：ax+by=c有解当且仅当gcd(a,b)|c

那么我们就可以求解ax+by=gcd(a,b)



根据这个原理递归求解即可

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int GCD=exgcd(b,a%b,x,y);
int temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return GCD;
}

根据这个求得的x，y只是一组可行解

如果gcd(a,b)=1,那么如果得到一组解x0,y0，通解就可以表示为x=x0+b×t,y=y0−a×t

如果需要求最小整数解x，我们可以令t=　b　(a　,　b),那么x=(x0%t+t)%t即可