0-1背包和完全背包问题
2017-07-25 14:20
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0-1背包
问题描述:一个背包总容量为V,现在有N个物品,第i个 物品体积为weight[i],价值为value[i],现在往背包里面装东西,怎么装能使背包的内物品价值最大?看到这个问题,可能会想到贪心算法,但是贪心其实是不对的。例如最少硬币找零问题,要用动态规划。动态规划思想就是解决子问题并记录子问题的解,这样就不用重复解决子问题了。
0-1未优化
动态规划先找出子问题,我们可以这样考虑:在物品比较少,背包容量比较小时怎么解决?用一个数组f[i][j]表示,在只有i个物品,容量为j的情况下背包问题的最优解,那么当物品种类变大为i+1时,最优解是什么?第i+1个物品可以选择放进背包或者不放进背包(这也就是0和1),假设放进背包(前提是放得下),那么
f[i+1][j]=f[i][j-weight[i+1]]+value[i+1];如果不放进背包,那么
f[i+1][j]=f[i][j]。
这就得出了状态转移方程:
f[i+1][j]=max(f[i][j],f[i][j-weight[i+1]+value[i+1])
实现代码:
import java.util.Scanner; /** * @author sxq *测试数据: 5 10 2 6 2 3 6 5 5 4 4 6 ans = 15 */ public class Main { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Scanner cin = new Scanner(System.in); final int N = cin.nextInt();//物品数量 final int M = cin.nextInt();//最大承重 int [] weight = new int[N + 1]; int [] value = new int[N + 1]; for(int i = 1 ; i <= N ; i ++) { weight[i] = cin.nextInt(); value[i] = cin.nextInt(); } //0-1背包 solution1 int [][] f = new int [N + 1][M + 1]; for(int i = 1 ; i <= N ; i ++) { for(int j = 1 ; j <= M ; j ++) { if(weight[i] <= j ) { f[i][j] = Math.max(f[i-1][j], f[i-1][j - weight[i]] + value[i]); }else { f[i][j] = f[i-1][j]; } } } System.out.println(f [M]); } }
0-1内存优化
在hihocoder上面还讲到可以进一步优化内存使用。上面计算f[i][j]可以看出,在计算
f[i][j]时只使用了
f[i-1][0……j],没有使用其他子问题,因此在存储子问题的解时,只存储
f[i-1]子问题的解即可。这样可以用两个一维数组解决,一个存储子问题,一个存储正在解决的子问题。
再进一步思考,计算
f[i][j]时只使用了
f[i-1][0……j],没有使用
f[i-1][j+1]这样的话,我们先计算j的循环时,让j=M……1,只使用一个一维数组即可。
for i=1……N
for j=M……1
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
代码:
import java.util.Scanner; /** * @author sxq * *测试数据 5 10 2 6 2 3 6 5 5 4 4 6 ans = 15 */ public class Main { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Scanner cin = new Scanner(System.in); final int N = cin.nextInt();//物品数量 final int M = cin.nextInt();//最大承重 int [] weight = new int[N + 1]; int [] value = new int[N + 1]; for(int i = 1 ; i <= N ; i ++) { weight[i] = cin.nextInt(); value[i] = cin.nextInt(); } //0-1背包 solution2 int [] f = new int[M+1]; for (int i=1; i<=N; i++) { for (int j=M; j>=1; j--) { if(weight[i] <= j ) { f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]] + value[i]); } } } System.out.println(f[M]); } }
完全背包
问题描述:一个背包总容量为V,现在有N个物品,第i个 物品体积为weight[i],价值为value[i],每个物品都有无限多件,现在往背包里面装东西,怎么装能使背包的内物品价值最大?对比一下,看到的区别是,完全背包问题中,物品有无限多件。往背包里面添加物品时,只要当前背包没装满,可以一直添加。那么状态转移方程为:
f[i+1][j]=max(f[i][j-k*weight[i+1]]+k*value[i+1]),其中
0<=k<=V/weight[i+1]
使用内存为一维数组,伪代码
for i=1……N
for j=1……M
f[j]=max(f[j],f[j-weight[i]+value[i])
和01背包问题唯一不同的是j是从1到M。01背包问题是在前一个子问题(i-1种物品)的基础上来解决当前问题(i种物品),向i-1种物品时的背包添加第i种物品;而完全背包问题是在解决当前问题(i种物品),向i种物品时的背包添加第i种物品。
实现代码:
import java.util.Scanner; /** * @author sxq *测试数据 5 10 2 6 2 3 6 5 5 4 4 6 ans = 30 */ public class Main { public static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Scanner cin = new Scanner(System.in); final int N = cin.nextInt();//物品数量 final int M = cin.nextInt();//最大承重 int [] weight = new int[N + 1]; int [] value = new int[N + 1]; for(int i = 1 ; i <= N ; i ++) { weight[i] = cin.nextInt(); value[i] = cin.nextInt(); } //完全背包 int [] f = new int[M+1]; for (int i=1; i<=N; i++) { for (int j=1; j <= M; j++) { if(weight[i] <= j ) { f[j] = Math.max(f[j], f[j-weight[i]] + value[i]); } } } System.out.println(f[M]); } }
背包题目HDU:
http://blog.csdn.net/libin56842/article/details/9338841
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