UVa 1664 (Conquer a New Region) 并查集

题目链接：https://cn.vjudge.net/problem/UVA-1664

题意：n个城市形成一棵树，每条边有权值C(i, j)。任意两个点的容量S(i, j)定义为i与j唯一通路容量上的最小值。找一个点(他将成为中心城市)，使得它到其他所有点的容量之和最大。

思路：很巧妙地并查集维护问题。首先把所有边按照权值从大到小排序，这样可以确保我们每次选出的边都比已选出的小。接下来按照Kruskal的思路来，假设我们已经维护好了一些集合（点的集合），其中每个集合中某个点到集合中所有点容量和的最大值为sum[i]，集合点的数量为cnt[i]。对于下一条被选出的边（u，v，c），设u属于集合X，v属于集合Y，如果我们选择X中的点作为中心城市，则答案为sum[X] + cnt[Y] * c（因为这条边比已经出现的边权值都要小，所以两个集合间必以这条路作为容量），同理，若选Y中点作为中心城市，则答案为sum[Y]
+ cnt[X] * c，我们取两者中的最大值，将较小值的集合合并到较大值的集合。一步步下去，最终集合的sum值就是答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cctype>
#include<iostream>
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define fin(a) freopen("a.txt","r",stdin)
#define fout(a) freopen("a.txt","w",stdout)
typedef long long LL;
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;
const int dx[] = {0, 0, 0, -1, 1};
const int dy[] = {0, -1, 1, 0, 0};
const int INF = 1e8 + 10;
const int maxn = 2e5 + 10;
int fa[maxn];
LL cnt[maxn], sum[maxn];
int n;

int find(int x) {
return fa[x] == x ? fa[x] : fa[x] = find(fa[x]);
}

struct Edge {
int from, to, cost;
Edge(int u, int v, int c) : from(u), to(v), cost(c) {}
bool operator < (const Edge& rhs) const {
return cost > rhs.cost;
}
};

vector<Edge> edges;

int main() {
int u, v, c;
while(scanf("%d", &n) == 1) {
edges.clear();
for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i, cnt[i] = 1, sum[i] = 0;
for(int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%d%d%d", &u, &v, &c);
edges.push_back(Edge(u, v, c));
}
sort(edges.begin(), edges.end());

for(int i = 0; i < edges.size(); i++) {
int u = edges[i].from, v = edges[i].to, c = edges[i].cost;
int x = find(u), y = find(v);
if(x != y) {
if(sum[x] + cnt[y] * (LL)c > sum[y] + cnt[x] * (LL)c) {
sum[x] += cnt[y] * (LL)c;
cnt[x] += cnt[y];
fa[y] = x;
}
else {
sum[y] += cnt[x] * (LL)c;
cnt[y] += cnt[x];
fa[x] = y;
}
}
}

printf("%lld\n", sum[find(1)]);
}
return 0;
}