后向传播算法“backpropragation”详解
2017-07-24 14:57
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为什么要使用backpropagation?
梯度下降不用多说,如果不清楚的可以参考http://www.cnblogs.com/yangmang/p/6279054.html。
神经网络的参数集合theta,包括超级多组weight和bais。
要使用梯度下降,就需要计算每一个参数的梯度,但是神经网络常常有数以万计,甚至百万的参数,所以需要使用backpropagation来高效地计算梯度。
backpropagation的推导
backpropagation背后的原理其实很简单,就是求导的链式法则。我们从上面的公式开始推导。以其中一个神经元为例。
如上面的红框中所示,根据链式法则,l对w的偏导数,等于z对w的偏导数乘以l对z的偏导数。
l对w的梯度可以分为两部分:
前向传播:对所有参数求梯度;
后向传播:对所有激活函数的输入z求梯度;
前向传播的梯度求法简单,就前一层的输入z对w求偏导数,直接求出就是对应的输入xi。
只要知道了激活函数的输出值,就可以轻易算出z/w的梯度,这个过程就是前向传播。
后向传播比较复杂,需要再使用链式法则,如红框中所示。l/z的梯度分解为a/z和l/a的梯度。
z对应当前节点的输入,a对应当前节点的输出。
a对z的导数图像如上所示,现在关键就是求l对a的偏导数。
为了求出l对a的偏导数,继续使用链式法则,关联上后面的两个神经元。
a通过z’和z''间接影响C,l/a的梯度应该是它所连接的所有神经元的梯度之和,不止是上面说的两项。
现在问题就转化成了,求红框中的两个问号的梯度/
现在假设两个问号梯度已知,就可以求出之前l对z的梯度了。
这样看上去有形成了一个新的网络,一个新的neural,输入是l/z'和l/z''的梯度,分别乘上对应权重w3,w4,
经过激活函数的作用,输出l/z的梯度。
现在来看看怎么可以求出l对z的梯度。
第一种情况:当z‘和z’‘为输出层时。根据链式法则,y/z的梯度可以根据对应的激活函数算出了,l/y的梯度是根据Cost function算出来的,这样问题就解决了。
第二种情况:不是输出层。就是说还有后续的神经元节点连接,就再往后看。
循环计算l对z的梯度,直到输出层,出现case1的情况,问题也就解决了。
所以,我们就可以从输出层开始,反向计算l对每层z的梯度,在结合前向传播得到的梯度,就可以计算出梯度下降所需的梯度了。
而且,反向传播的复杂度和前向传播是一样的,这样就大大提升了梯度计算的效率。后一层的梯度,乘以相应的w,相加再乘上σ‘(z),就得到了当前层的l/z的梯度。
最后结果就是这样的:
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