求解最长递增子序列的长度

一、问题描述

给定一个序列，求最长递增子序列的长度。比如： arr[] = {1,4,1,5,9,2,6,5}   的最长递增子序列长度为4。即为：1,4,5,9

 

二、算法分析

方法1、解决这个问题，可以想到求解最长公共子序列问题，把数组arr[]按照从小到大的顺序排序，得到另一个数组b[],然后求解arr和b的最长公共子序列长度，就是上述问题的解。解决LCS问题的时间复杂度为O(N^2)，排序时间复杂度O(NlogN)，故整个算法的时间复杂度为O(N^2)，空间复杂度为O(N)，

 方法2、直接用DP求解，算法时间复杂度为O(N^2)  
4000
(当然LCS也是利用了DP,但是还是得先进行排序，然后才进行DP)

下面进行分析，要求最长递增子序列，可知，最长递增子序列的子序列必定也是对应序列的最长子序列（可能有点绕，但是学习或者了解动态规划的同学，应该不难理解）所以就有了最优子问题

（1）最优子问题

设lis[i] 表示索引为 [0...i] 上的数组上的 最长递增子序列。初始时，lis[i]=1（即初始值为1，这样应该不需要解释，一个序列的最长递增子序列最少也得有一个嘛）下面就是递推公式

当 arr[i] > arr[j]，lis[i] = max{lis[j]}+1 ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

当 arr[i] < arr[j]，lis[i] = max{lis[j]} ；其中，j 的取值范围为：0,1...i-1

 

2.1、代码实现

public class LIS {
public static int lis(int[] arr){
if(arr == null || arr.length == 0)
return 0;
return lis(arr, arr.length);
}

private static int lis(int[] arr, int length){
int lis[] = new int[length];

for(int i = 0; i < length; i++)
lis[i] = 1;

for(int i = 1; i < length; i++)
{
for(int j = 0; j < i; j++)
{
if(arr[i] > arr[j] && lis[j] + 1 > lis[i])
lis[i] = lis[j] + 1;
}
}

int max = lis[0];
for(int i = 1; i < length; i++)
if(max < lis[i])
max = lis[i];
return max;
}

public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,4,1,5,9,2,6,5};
int result = lis(arr);
System.out.println(result);
}
}