1125 交换机器的最小代价

1125 交换机器的最小代价


基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题


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有N台机器重量各不相等，现在要求把这些机器按照重量排序，重量从左到右依次递增。移动机器只能做交换操作，但交换机器要花费一定的费用，费用的大小就是交换机器重量的和。例如：3 2 1，交换1 3后为递增排序，总的交换代价为4。给出N台机器的重量，求将所有机器变为有序的最小代价。（机器的重量均为正整数）

Input

第1行：1个数N，表示机器及房间的数量。（2 <= N <= 50000)
第2 - N + 1行：每行1个数，表示机器的重量Wi。(1 <= Wi <= 10^9)

Output

输出最小代价。

Input示例

3
3
2
1

Output示例

4

李陶冶 (题目提供者)

C++的运行时限为：1000 ms ，空间限制为：131072 KB 示例及语言说明请按这里

题解：此题是有关置换群的内容。

1,在置换群里若有t个元素，则至少交换t-1次可以至想要的递增序列（递减序列）;

2,据此题要交换代价最小，那么必须以最小的数为媒介进行交换。

3,设在置换群里t-1个元素和为sum1（就是除去了置换群中最小的数minx其他元素的和），

t个元素的和为sum,整个数列中最小的数为mins,

以置换群中最小的数minx为
4000
媒介时，要交换t-1次，说明其他t-1个元素各交换一次，

minx交换t-1次，则代价为sum1+(t-1)*minx=>sum+(t-2)*minx;

以整个数列中最小数mins为媒介时（此时置换群最小的数不是整个数列中最小的），

本就有t个元素，所以要交换t次，说明其他t个元素各交换一次，mins交换t次，

但mins不是置换群里的，所以还要交换回去，因此代价还要加mins+minx, 

则代价为sum+t*mins+mins+minx=>sum+(t+1)*mins+minx;

4,若还感觉有点不明白过程，我就举个列子，给大家模拟一遍。

eg:  7 5 2 4 6 8 1 3  a（原序列，为了方便,我将原序列命名为a，排完序的序列b）

排序后 ：1 2 3 4 5 6 7 8  b

置换群有

       ：7-1

       
: 5-2-3-8-6

        : 4

现在以第二个置换群的最小值2为媒介对本置换群元素进行交换：

7 5 2 4 6 8 1 3（原序列，为了方便,我将原序列命名为a，排完序的序列b）

7 5 3 4 6 8 1 2 a的2下面是b的3，交换2,3；注意：并排的序列是交换完的序列（以下类同） 

7 5 3 4 6 2 1 8 a的2下面是b的8，交换2,8 ;

7 5 3 4 2 6 1 8 a的2下面是b的6 , 交换2,6；

7 2 3 4 5 6 1 8 a的2下面是b的5，交换2,5；

第二个置换群元素都交换完毕，显然交换了4次，t本就为5，在此开来有t个元素的交换群，

至少交换t-1(其实你可以交换更多次，但没那个必要)；

再交换第一个置换群的元素1,7

1 2 3 4 5 6 7 8 所有的交换完毕。

我又将1,2交换，模拟第二种代价的交换过程，其实是类似，所以就从略些；

7 5 2 4 6
8 1 3

7 5
1 4 6 8 2 3

7 5 3 4 6 821

7 5 3 4 6
1 2 8

7 5 3 41 62
8

7 1 3
4 5 6 2 8

7 2 3 4 5 6 1 8 再换回1,2，这就是为什么要在第二种的代价后再加mins+minx的原因。

1 2 3 4 5 6 7 8

由于mins+minx大小不确定，所以才比较第一种代价sum+(t-2)*minx和

第二种代价sum+(t+1)*mins+minx谁更小，就选谁。

就是说，若以mins为minx得到的代价sum+(t-2)*mins肯定小于等于sum+(t-2)*minx，

但交换mins和minx也需要代价x,所以sum+(t-2)*mins+x=>sum+(t+1）*mins+minx与

sum+(t-2)*minx大小就不确定了，进一步看谁更小，就选谁。

具体代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
struct node
{
LL va;
int id;
};
bool cmp (node a,node b)
{
return a.va<b.va;
}
int main ()
{
int n;
node w[50005];
LL mins=9999999,minx=9999999,a[50005];  //mins为整个数列中最小的，minx为当前置换群中最小的。
LL sum=0;
cin>>n;
for (int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
w[i].va=a[i];
w[i].id=i;
sum+=a[i];
mins=min(mins,a[i]);
}

sort(w,w+n,cmp);
int f[50005]={0};
for (int i=0;i<n;i++)
{
if(!f[i])
{
int j=i;
int t=0;
minx=a[j];
while(!f[j])
{
t++;
f[j]=1;
minx=min(a[j],minx);
j=w[j].id;//通过id去寻找置换群里的下一个元素
}
sum+=min((t-2)*minx,(t+1)*mins+minx);//比较这两种代价谁更小则选谁。
}
}
printf("%lld",sum);
return 0;
}

类似：poj
Cow Sorting 3270(同一代码可以AC)