数论前奏-整数和mod
2017-07-22 17:40
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在学数论之前我还是先学一下整数,整数是离散数学的支柱,虽然不懂为什么,但是“前人之鉴 后人之师”,我还是学了一点,找找一些资料吧;
1.底和顶:
底 (FLOORS): └X┘= 小于或等于x的最大整数即└X┘<=X;例如:└e┘=2,└-e┘=-3;
顶 (CEILINGS):┌X┐=大于或等于x的最小整数即┌X┐>=X;例如:┌e┐=3,┌-e┐=-2;
e=2.71828...
其实我们生活中经常用到 "[" "]" 这两个符号来表示:[x]表示小于等于x的最大整数,而对于最小整数函数则没有好的等价符号,所有我们完全可以引用上面的底和顶的符号,反正已经得到国际认可了,又学会了一项装逼的技能是不是;
如果x为整数那么,└X┘=x <=> ┌X┐=x;
对于任何数满足:└-X┘=-└X┘ ┌-X┐=-┌X┐;
对于底函数和顶函数会多用到下面的三个性质:
(a):└X┘ = n <=> n <= x < n + 1;(n为整数)
(b):└X┘ = n <=> x - 1 < n <= x;(n为整数)
(c):┌X┐ = n <=> n - 1 < x <= n;(n为整数)
(d):┌X┐ = n <=> x <= n < x + 1;(n为整数)
└X + n┘ = └X┘ + n,n为整数;
其实x和└X┘之间的差称为x的分数部分,令{X}=X-└X┘;而└X┘是x的整数部分,那么:X=└X┘+{X};
对于└X+Y┘一般有两种可能性:如果我们记X=└X┘+{X},Y=└Y┘+{Y},那么就有:└X+Y┘=└X┘+└Y┘+└{X}+{Y}┘;
又因为:0<={X}+{Y}<2,我们发现└X+Y┘有时等于└X┘+└Y┘,否则它就等于└X┘+└Y┘+1;
2.底和顶的应用:
(1):从一个简单的问题开始:┌lg50┐等于什么?,由2^5 < 50 <= 2^6,我们可以取对数5 < lg50 <= 6,
所以得知:┌lg50┐=6;
(2):然后再讨论一个问题,┌└X┘┐等于什么?,很容易,因为└X┘是整数,所以┌└X┘┐就是└X┘,同样只要确定最里面的那个底或者顶,外围不管有多少底或者顶
,这个值都不变,(并且对于对于:┌ sqrt(└X┘)┐这个结果还是一样的等于:sqrt(└X┘);
mod:二元运算 ‘MOD’:THE BINARY OPERAYION
当m和n是正整数的时候,n被m除的商是└n/m┘。这个除法的余数也有一个简单的记号,称它为“n
mod m“。
基本公式:n
= m*└ n/m ┘ + n mod m; 于是我们可以将”n
mod m“表示成
”n - m*└ n/m ┘“,实际上这个公式可以推广到任意整数:x
mod y = x - y*└ x/y ┘,y != 0;
这里举一些整值运算的例子:
5 mod 3 = 5 - 3*└5 / 3┘
= 2
5 mod -3 = 5
- (-3)*└5 /(- 3)┘ = -1(以前我算这个式子都是算错的)
-5 mod 3 = -5 - 3*└ -5 / 3 ┘ = 1
-5 mod -3 = -5-(-3)*└ -5 / (-3) ┘ = -2
mod后面的数成为模,至今还没有人给mod前面的数取名。
在模为任意数(当然不能为0)的时候,x
mod y的值都介于0和模之间:
0 <= x mod y < y, y > 0;
0 >= x mod y > y, y < 0;
其实我们也可以将{X}写成x
mod 1,所以:X = └X┘ + x mod 1;
后面还有很多,可以一些符号我无法表示,所以只能到此为止,我至今还没有遇见类似的题,如果以后遇到,我会再进行补充。
1.底和顶:
底 (FLOORS): └X┘= 小于或等于x的最大整数即└X┘<=X;例如:└e┘=2,└-e┘=-3;
顶 (CEILINGS):┌X┐=大于或等于x的最小整数即┌X┐>=X;例如:┌e┐=3,┌-e┐=-2;
e=2.71828...
其实我们生活中经常用到 "[" "]" 这两个符号来表示:[x]表示小于等于x的最大整数,而对于最小整数函数则没有好的等价符号,所有我们完全可以引用上面的底和顶的符号,反正已经得到国际认可了,又学会了一项装逼的技能是不是;
如果x为整数那么,└X┘=x <=> ┌X┐=x;
对于任何数满足:└-X┘=-└X┘ ┌-X┐=-┌X┐;
对于底函数和顶函数会多用到下面的三个性质:
(a):└X┘ = n <=> n <= x < n + 1;(n为整数)
(b):└X┘ = n <=> x - 1 < n <= x;(n为整数)
(c):┌X┐ = n <=> n - 1 < x <= n;(n为整数)
(d):┌X┐ = n <=> x <= n < x + 1;(n为整数)
└X + n┘ = └X┘ + n,n为整数;
其实x和└X┘之间的差称为x的分数部分,令{X}=X-└X┘;而└X┘是x的整数部分,那么:X=└X┘+{X};
对于└X+Y┘一般有两种可能性:如果我们记X=└X┘+{X},Y=└Y┘+{Y},那么就有:└X+Y┘=└X┘+└Y┘+└{X}+{Y}┘;
又因为:0<={X}+{Y}<2,我们发现└X+Y┘有时等于└X┘+└Y┘,否则它就等于└X┘+└Y┘+1;
2.底和顶的应用:
(1):从一个简单的问题开始:┌lg50┐等于什么?,由2^5 < 50 <= 2^6,我们可以取对数5 < lg50 <= 6,
所以得知:┌lg50┐=6;
(2):然后再讨论一个问题,┌└X┘┐等于什么?,很容易,因为└X┘是整数,所以┌└X┘┐就是└X┘,同样只要确定最里面的那个底或者顶,外围不管有多少底或者顶
,这个值都不变,(并且对于对于:┌ sqrt(└X┘)┐这个结果还是一样的等于:sqrt(└X┘);
mod:二元运算 ‘MOD’:THE BINARY OPERAYION
当m和n是正整数的时候,n被m除的商是└n/m┘。这个除法的余数也有一个简单的记号,称它为“n
mod m“。
基本公式:n
= m*└ n/m ┘ + n mod m; 于是我们可以将”n
mod m“表示成
”n - m*└ n/m ┘“,实际上这个公式可以推广到任意整数:x
mod y = x - y*└ x/y ┘,y != 0;
这里举一些整值运算的例子:
5 mod 3 = 5 - 3*└5 / 3┘
= 2
5 mod -3 = 5
- (-3)*└5 /(- 3)┘ = -1(以前我算这个式子都是算错的)
-5 mod 3 = -5 - 3*└ -5 / 3 ┘ = 1
-5 mod -3 = -5-(-3)*└ -5 / (-3) ┘ = -2
mod后面的数成为模,至今还没有人给mod前面的数取名。
在模为任意数(当然不能为0)的时候,x
mod y的值都介于0和模之间:
0 <= x mod y < y, y > 0;
0 >= x mod y > y, y < 0;
其实我们也可以将{X}写成x
mod 1,所以:X = └X┘ + x mod 1;
后面还有很多,可以一些符号我无法表示,所以只能到此为止,我至今还没有遇见类似的题,如果以后遇到,我会再进行补充。
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