NKOJ 3252 (CQOI 2015) 多项式（数学，高精度）

P3252【CQOI2015】多项式

问题描述

在学习完二项式定理后，数学老师给出了一道题目：已知整数n,t和ak(0≤k≤n)，求bk(0≤k≤n)的表达式使得

同学们很快算出了答案。见大家这么快就搞定了，老师便布置了一个更BT的作业：计算某个bk的具体数值！接着便在黑板上写下了n,t的数值，由于ak实在太多，不能全写在黑板上，老师只给出了一个ak的递推式，让学生自行计算

正在学习信息竞赛的你觉得这个作业实在不适合手工完成，便敲起了代码……

输入格式

输入文件共三行，第一行为一个正整数n，第二行为一个非负整数t，第三行为一个非负整数m。

输出格式

输出一行，为bm的值。

样例输入

3

2

2

样例输出

10536

提示

样例解释：
a0=1, a1=134, a2=1584, a3=1492。
b0=18541, b1=24374, b2=10536, b3=1492。
1492y^3 + 1584y^2 + 134y + 1 = 1492(y-2)^3 + 10536(y-2)^2 + 24374(y-2) + 18541。

数据范围：
对于20%的数据，t=0。
对于另外30%的数据，n≤100000。
对于100%的数据，0<n≤10^3000，0≤t≤10000，0≤n-m≤5。

根据pwj大佬提供的公式F(x)=∑nk=0akxk=∑nk=0bk(x−t)k

抄袭pwj大佬说的在x=t处泰勒展开F(x)=∑k=0nF(k)(t)k!(x−t)k

于是我们有bm=F(m) (t)m!

最后再根据pwj大佬所说F(m) (t)m!=∑n−mk=0(m+k k)am+ktk

于是这道题就解决了。最后用高精度乱搞即可。（希望将来我能看懂上面的式子）

最后只能%%%pwj大佬。

代码

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const ll mod=1e9;
struct Big
{
ll S[12345],T,cur;
void Input()
{
string s;cin>>s;ll i,t,l=s.length();
for(i=0;i<l;i++)
{
t=(l-i-1)/9;S[t]=S[t]*10+s[i]-48;
T=T*10+s[i]-48;T%=3388;
}
cur=(l-1)/9;while(cur>0&&S[cur]==0)cur--;
}
void Output()
{
printf("%lld",S[cur]);
ll i,k;
for(i=cur-1;i>=0;i--)
{
k=mod/10;
while(k>S[i])putchar('0'),k/=10;
if(k)printf("%lld",S[i]);
}
}
void add(ll k)
{
S[0]+=k;ll i=0;
while(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i++]%=mod;
if(S[cur+1])cur++;
}
void ADD(const Big& o)
{
ll i,r=max(o.cur,cur);
for(i=0;i<=r;i++)
{
S[i]+=o.S[i];
if(S[i]>=mod)S[i+1]+=S[i]/mod,S[i]%=mod;
}
cur=r+5;while(cur>0&&S[cur]==0)cur--;
}
void Multiply(const Big& o,Big& E)
{
ll i,j;memset(&E,0,sizeof(E));
for(i=0;i<=cur;i++)
for(j=0;j<=o.cur;j++)
{
E.S[i+j]+=S[i]*o.S[j];
if(E.S[i+j]>=mod)
{
E.S[i+j+1]+=E.S[i+j]/mod;
E.S[i+j]%=mod;
}
}
E.cur=cur+o.cur+5;
while(E.cur>0&&E.S[E.cur]==0)E.cur--;
}
void Divide(ll k)
{
for(ll i=cur;i>0;i--)
{
S[i-1]+=S[i]%k*mod;S[i]/=k;
if(S[cur]==0)cur--;
}
S[0]/=k;
}
};
Big N,M,C[12],t1,t2,t3,P[12],Ans;
ll a,i,j,k,K;
int main()
{
N.Input();P[1].Input();M.Input();
K=N.T-M.T;if(K<0)K+=3388;
a=1;for(i=1;i<=M.T;i++)a=(1234*a+5678)%3389;
Ans.add(a);C[0].S[0]=1;
for(k=1;k<=K;k++)
{
M.add(1);
C[k-1].Multiply(M,C[k]);
C[k].Divide(k);
a=(a*1234+5678)%3389;
P[k].Multiply(P[1],P[k+1]);
t2.S[0]=a;
C[k].Multiply(t2,t1);
P[k].Multiply(t1,t3);
Ans.ADD(t3);
}
Ans.Output();
}