算法导论5.1-3

问题：

假设你希望以1/2概率输出0和1。你可以自由使用一个输出0和1的过程BIASED-RANDOM。它以概率p输出1，概率1-p输出0，其中0<p<1，但是p的值未知。请给出一个利用BIASED-RANDOM作为子程序的算法，返回一个无偏的结果，能以概率1/2返回0，以概率1/2返回1。作为p的函数，该算法的期望运行时间是多少。

解答：

该算法描述如下：

使用BIASED-RANDOM生成两个随机数x，y。

若x与y不相等，则返回x的值作为输出。

如果x与y相等，则重新进行步骤1。

正确性：

P {x = 1 and y = 0} = p * (1-p)

P {x = 0 and y = 1} = (1 - p) * p

易知，该函数返回1与返回0的概率相等，均为1/2。

复杂度分析：

记q=1-p，则总共进行i次Step1的概率为：

(2pq)i−1(1−2pq)。

记X为总共进行Step1的次数，则：

E(X)=∑∞i=1i(2pq)(1−2pq)i−1=12pq

记算法消耗的时间为T(n)，则有：

T(n)=O(1p(1−p))

C语言实现：

实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>

#define P 20

int biased_random() {
int temp = rand() % 100;
if (temp < P) {
return 1;
}
return 0;
}

int unbiased_random() {
int x = biased_random();
int y = biased_random();
while (x == y) {
x = biased_random();
y = biased_random();
}
return x;
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
srand(time(NULL));
int sum[2] = {0, 0};
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
sum[biased_random()]++;
}
for (int i = 0; i < 2; ++i) {
printf("biased_random %d: %d\n", i, sum[i]);
}
sum[0] = 0;
sum[1] = 0;
for (int i = 0; i < 10000; i++) {
sum[unbiased_random()]++;
}
for (int i = 0; i < 2; i++) {
printf("unbiased_random %d: %d\n", i, sum[i]);
}
return 0;
}