uva11806（容斥原理）拉拉队

例题3 拉拉队（Cheerleaders, UVa 11806）

在一个m行n列的矩形网格里放k个相同的石子， 问有多少种方法？ 每

个格子最多放一个石子， 所有石子都要用完， 并且第一行、 最后一行、

第一列、 最后一列都得有石子。

【输入格式】

输入第一行为数据组数T（T≤50） ， 每组数据包含3个整数m，
n，
k（2≤m，
n≤20， k≤500） 。

【输出格式】

对于每组数据， 输出方案总数除以1000007的余数。

【分析】

如果题目求的是“第一行、 最后一行、 第一列、 最后一列都没有石

子”的方案数， 该有多好啊！ 这相当于一共只有m－2行n－2列，
答案自然

是C（（m－2） （n－2）
， k） 了。 幸运的是， 利用容斥原理， 我们可以

把本题转化为上述问题。

设满足“第一行没有石子”的方案集为A， 最后一行没有石子的方案集

为B， 第一列没有石子的方案集为C， 最后一列没有石子的方案集为D，

全集为S， 则所求答案就是“在S中但不在A，
B， C，
D任何一个集合中”的

元素个数， 可以用容斥原理求解。

在程序中， 我们用二进制来表示A，
B， C，
D的所有“搭配”（S对应
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于“空搭配”） 。 如果在集合A和B中，
相当于少了一行； 如果在集合C或D

中， 相当于少了一列。 假定最后剩了r行c列， 方法数就是C（rc，
k） 。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int mk=505,MOD=1000007;
int C[mk][mk];
int main()
{
//预处理出组合数
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<mk;++i)
{
C[i][0]=1;//边界条件要注意
for(int j=1;j<=i;++j)
C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%MOD;
}
int T;
scanf("%d",&T);
for(int kase=1;kase<=T;++kase)
{
int n,m,k,sum=0;
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int S=0;S<16;++S)
{
int b=0,r=n,c=m;
if(S&1) r--,b++;//第一行没放石头，可放的行数减1
if(S&2) r--,b++;//最后一行
if(S&4) c--,b++;//第一列
if(S&8) c--,b++;//最后一列
if(b&1) sum=(sum+MOD-C[r*c][k])%MOD;
else sum=(sum+C[r*c][k])%MOD;
}
printf("Case %d: %d\n",kase,sum);
}
return 0;
}