POJ - 1127 Jack Straws 判断线段相交 叉积

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感谢大佬!

感谢大佬！

判断两线段是否相交：
快速排斥
跨立实验（这两个词也是我看博客的时候看到的，觉得挺高大上的就拿过来用了，哈哈哈）

 
快速排斥：就是初步的判断一下，两条线段是不是相交，以两条线段为对角线的矩形，如果不重合的话，那么两条线段一定不可能相交。看下图：

       

                

　　　　1.线段ab的低点低于cd的最高点（可能重合）

　　　　2.cd的最左端小于ab的最右端（可能重合）

　　　　3.cd的最低点低于ab的最高点（加上条件1，两线段在竖直方向上重合）

　　　　4.ab的最左端小于cd的最右端（加上条件2，两直线在水平方向上重合）

　　　　综上4个条件，两条线段组成的矩形是重合的

　　　　用代码实现（c++）：

if(min(a.x,b.x)<=max(c.x,d.x) && min(c.y,d.y)<=max(a.y,b.y)&&min(c.x,d.x)<=max(a.x,b.x) && min(a.y,b.y)<=max(c.y,d.y))
　　return true;

 
跨立实验：如果两条线段相交，那么必须跨立，就是以一条线段为标准，另一条线段的两端点一定在这条线段的两段

　　也就是说a b两点在线段cd的两端，c d两点在线段ab的两端

　　这里就用到了向量X乘的知识点，有向量X乘的物理意义知：AB x CD=-CD x AB

　　看下图：

 


　　(ca x cd)·(cb x cd)<=0 则说明ca cb先对于cd的方向不同，则a b在线段cd的两侧，由此可以判断其他点

第1 步：快速排斥试验，如果分别以P1P2 ，P3P4 为对角线做矩形，而这两个矩形不相交，则这两条线段肯定不相交，如下左图；即使两个矩形相交，这两条线段也不一定相交，如下右图，这时再用第2 步判断；

                                     



 

        表示成语句，即两个矩形相交当且仅当下列式子为真：

（max(x1,x2)≥min(x3,x4)）∧ (max(x3,x4)≥min(x1,x2)) ∧（max(y1,y2)≥min(y3,y4)）∧(max(y3,y4)≥min(y1,y2))

两个矩形相交必须在两个方向上都相交，式子的前半部分判断在x 方向上是否相交，后半部分判断在y 方向上是否相交。

      第2 步：确定每条线段是否“跨立”另一条线段所在的直线。

跨立：如果点P1 处于直线P3P4的一边，而P2处于该直线的另一边，则我们说线段p1p2跨立直线P3P4，如果P1 或P2 在直线P3P4 上，也算跨立。

两条线段相交当且仅当它们能够通过第1 步的快速排斥试验，并且每一条线段都跨立另一条线段所在的直线。

                      



    具体第2 步的实现，只要用叉积去做就可以了，即只要判断矢量p1p3和p1p4是否在p1p2的两边相对的位置上，如果这样，则线段p1p2跨立直线P3P4。也即检查叉积（P3-P1）×（P2-P1）与（P4-P1）×（P2-P1）的符号是否相同，相同则不跨立，线段也就不相交，否则相交。

当然也有一些特殊情况需要处理，如任何一个叉积为0，则P3 或P4 在直线P1P2 上，又因为通过了快速排斥试验，所以下图左边的情况是不可能出现的，只会出现右边的两种情况。当然，还会出现一条或两条线段的长度为0，如果两条线段的长度都是0，则只要通过快速排斥试验就能确定；如果仅有一条线段的长度为0，如p3p4的长度为0，则线段相交当且仅当叉积（P3-P1）×（P2-P1）。

         



有关于叉积的概念：

矢量的矢量积（叉乘、叉积）

① 矢量积的一般含义：两个矢量a 和b 的矢量积是一个矢量，记作a×b，其模等于由a 和b作成的平行四边形的面积，方向与平行四边形所在平面垂直，当站在这个方向观察时，a 逆时针转过一个小于π的角到达b 的方向。这个方向也可以用物理上的右手螺旋定则判断：右手四指弯向由A 转到B 的方向（转过的角小于π），拇指指向的就是矢量积的方向。如下图（左）。

                        

        


② 我们给出叉积的等价而更有用的定义，把叉积定义为一个矩阵的行列式：

           

                                     


如上右图，如果  p1 × p2 为正数，则相对原点(0,0)来说， p1 在p 2 的顺时针方向；
如果p 1  × p2为负数，则p 1 在p 2 的逆时针方向。如果p 1× p2  =0，则p 1和p 2 模相等且共线，方向相同或相反。

 

③ 给定两个矢量：P0P1和P0P2，对它们的公共端点P0来说，判断P0P1是否在P0P2的顺时针方向。

                                         



方法：如上图，把0 p 作为原点，得出向量P1’=P1-P0 和P2’=P2-P0，因此，这两个向量的叉积为： 如果该叉积为正，则P0P1在P0P2的顺时针方向，如果为负，则P0P1在P0P2的逆时针方向。如果等于0，则P0，P1，P2三点共线。

④ 讨论另一个重要问题：确定连续线段是向左转还是向右转，如下图，即两条连续线段P0P1

和P1P2在点P1 是向左转还是向右转。也即∠P1P0P2的转向。

方法：叉积，同上。



这道题还要注意一点：

还有一些情况要考虑：





对于这个题目,如果要判断传递性可以用并查集,判断两直线相交的话就直接 快速排斥+跨立实验.

但是我对于大佬们判断以两个线段为对角线矩形相离,有我自己的理解. 我一直用的就是  

可以确定两个矩阵的左下角和右上角的点, 设分别为（x1，y1）（x2,y2）和（x3,y3）(x4,y4)

那么只要保证:if(x3>x2||x1>x4||y1>y4||y3>y2) 一定相离

#include<iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int maxn=50;
int pre[maxn];
struct node
{
int x,y;
}q[maxn],qq[maxn];
void init()
{
for(int i=0;i<maxn;i++)
pre[i]=i;
return ;
}
int find(int x)
{
return x==pre[x]?x:pre[x]=find(pre[x]);
}
//如果P1XP2>0 相对于原点来说P1在P2的顺时针方向,<0在逆时针方向,=0共线.
int cmul(node q,node qq,node p)
{
return (p.x-q.x)*(qq.y-q.y)-(qq.x-q.x)*(p.y-q.y);
}
int solve(node q1,node qq1,node q2,node qq2)
{
int x1=min(q1.x,qq1.x),y1=min(q1.y,qq1.y);
int x2=max(q1.x,qq1.x),y2=max(q1.y,qq1.y);
int x3=min(q2.x,qq2.x),y3=min(q2.y,qq2.y);
int x4=max(q2.x,qq2.x),y4=max(q2.y,qq2.y);
//快速排斥.以该线段为对角线构成的两个矩形相离则一定不相交.
if(x3>x2||x1>x4||y1>y4||y3>y2)
return 0;
//跨立实验.
//必须满足 (caxcd)*(cbxcd)<=0 &&(acxab)*(adxab)<=0
if(cmul(q1,qq1,q2)*cmul(q1,qq1,qq2)<=0&&cmul(q2,qq2,q1)*cmul(q2,qq2,qq1)<=0)
return 1;
return 0;
}
int n,a,b;
int main(){

while(~scanf("%d",&n))
{
init();
if(n==0)
break;
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d %d %d %d",&q[i].x,&q[i].y,&qq[i].x,&qq[i].y);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(solve(q[i],qq[i],q[j],qq[j]))
{
int f1=find(i);
int f2=find(j);
if(f1!=f2)
pre[f1]=f2;
}
}
}
while(scanf("%d %d",&a,&b))
{
if(a==0&&b==0)
break;
if(find(a)==find(b))
{
puts("CONNECTED");
}
else
puts("NOT CONNECTED");
}
}
return 0;
}

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