【动态规划】UVa 1331 最大面积最小三角形剖分

题目

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题目大意

将一个多边形用它不相交的对角线将它分成若干个三角形，使得最大的三角形面积最小，求最大三角形的面积。如图是一个六边形的几种剖分：

思路

记由点u,u+1,…,v-1,v(u< v)组成的多边形为F(i,j)

首先，总的多边形为F(1,N)，

对于F(1,N)的一个子多边形F(i,j)(1<=i<j<=N)<
4000
/span>，可以在点i+1-点j-1中任意找到一个点k，将其分割为：Δijk,F(i,k),F(j,k)，如图:



设d[i][j]表示F(i,j)中的最优解，很显然，先要找到max{SΔijk,d[i][k],d[k][j]}（SΔijk为Δijk的面积），也就是找到以k为分割点，F(i,j)中的最大的三角形的面积，然后枚举k点，使这个最大的三角形面积最小即可。

状态转移方程：d[i][j]=min{max{SΔijk,d[i][k],d[k][j]}}(i<k<j)

这样就完了吗？不是的，还有一个问题：Δijk合法吗？例如这样的“分割”：



当k点在如图位置时，Δijk显然不合法，因为线段ik不是F(1,7)的对角线！

所以怎么判断Δijk是否合法呢？

换个思路，判断Δijk是否合法实际上就是看Δijk内有没有其他的点。然后枚举除ijk外每一个点呗，再看这点是不是在Δijk内。

怎么判断点是否在Δijk内呢？

“面积法”是很好的办法：设现在枚举到的点为x，计算T=SΔijx,SΔikx,SΔkjx，再把它们加起来，如果x不在Δijk，显然T==SΔijk，所以判断T与SΔijk的大小关系即可。不明白的可以画画图，我懒得再画了……

至于计算面积，我用的海伦公式。

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

#define MAXN 50
#define INF 0x7fffffff
#define eps 0.0001
struct point
{
double x,y;
}p[MAXN+5];//点
int N;
double d[MAXN+5][MAXN+5];//动归

double dis(int x,int y){return sqrt((p[x].x-p[y].x)*(p[x].x-p[y].x)+(p[x].y-p[y].y)*(p[x].y-p[y].y));}//计算两点距离
double area(int x,int y,int z)//计算由点x,y,z构成的三角形的面积（海伦公式）
{
double a=dis(x,y),b=dis(y,z),c=dis(x,z);
double p=(a+b+c)/2;
return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
}
bool check(int x,int y,int z)//判断由点x,y,z构成的三角形中有没有点
{
double tarea=area(x,y,z);
for(int i=1;i<=N;i++)
{
if(i==x||i==y||i==z) continue;
double a=area(i,x,y),b=area(i,y,z),c=area(i,x,z);
if(fabs(a+b+c-tarea)<eps)//double计算有精度误差，不要用==
return 0;
}
return 1;
}

int main()
{
int T;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&N);
for(int i=1;i<=N;i++)
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
for(int i=N-2;i>=1;i--)
for(int j=i+2;j<=N;j++)
{
d[i][j]=INF;
for(int k=i+1;k<j;k++)//选择分割点
if(check(i,j,k))
d[i][j]=min(d[i][j],max(area(i,j,k),max(d[i][k],d[k][j])));
}
printf("%.1lf\n",d[1]
);
memset(d,0,sizeof(d));
}
}