相关数学理论和公式（排列组合）

基本公式

\[A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}\]

\[C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{(n-m)!m!}\]

\[C_n^m=C_n^{n-m}\]

\[C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\]

特殊排列组合

不同物品可重复选择m个物品：\(C_{n+m-1}^m\)

有k个不同的不同物品集，物品总数是n，物品集内的物品都完全相同，每个物品集的数量是\(n_1,n_2,\cdots,n_k\),则这n个物品的排列数为\[n!/n_1!/n_2!/n_3!/\cdots/n_k!\]

n个有标号\(1,2,3,\cdots,n\)的顶点的树的数目是\(n^{n-2}\)

圆周排列

\(Q(N,R)\)代表N中选R个的圆周排列

\[Q(N，R)=A（N，R）/R\]

\[Q(N,N)=(N-1)!\]

生成排列(允许可重集)

void dfs(int step){
if(step == n){
for(int i=1; i<n; i++) cout<<a[i]<<' ';
cout<<a
<<endl;
return;
}
for(int i=1; i<=n; i++)
if(book[i]<=2)          //这里表示重复的数最多可以有两个
{
a[step+1]=i;
book[i]++;
dfs(step+1);
book[i]--;
}
}

生成组合

二进制法

for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++){
for(int j=0;j<n;j++){
if(i&(1<<j)) cout<<a[j]<<" ";
}
cout<<endl;
}