【洛谷1962】 斐波那契数列

题面

题目背景

大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：

• f(1) = 1

• f(2) = 1

• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)

题目描述

请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。

输入格式：

·第 1 行：一个整数 n

输出格式：

第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值

输入输出样例

输入样例#1：

5

输出样例#1：

5

输入样例#2：

10

输出样例#2：

55

说明

对于 60% 的数据： n ≤ 92

对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。

题解

看一看数据范围

如果使用O(n)的递推显然会炸掉

那么我们有没有别的方法？

显然是有的

使用斐波那契数列的递推公式怎么样?

但是，，，里面带有根号，如果直接使用显然是会掉精度的

所以，，，应该怎么办

我们知道

f[i]=f[i-1]+f[i-2]

f[i-1]=f[i-2]+f[i-3]

所以

我们可以用矩阵来表示



因此

我们可以继续推导

可以得到



接下来使用矩阵快速幂就可以直接求解

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MOD 1000000007
#define MAX 10
#define ll long long
struct yl//矩阵
{
int n;//大小
long long g[MAX][MAX];
};
yl operator *(yl a,yl b)//定义乘法
{
int n=a.n;
yl cool;
memset(cool.g,0,sizeof(cool.g));
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
for(int k=1;k<=n;++k)
cool.g[i][j]=(cool.g[i][j]+1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j]%MOD)%MOD;
cool.n=n;
return cool;
}
void write(yl a)
{
int n=a.n;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
cout<<a.g[i][j]<<' ';
cout<<endl;
}
}
yl Pow(yl a,long long b)//a的b次方
{
if(b==1)return a;
yl s=Pow(a,b/2);
s.n=a.n;
s=s*s;
if(b&1)s=s*a;
return s;
}
int main()
{
ll n;
cin>>n;
if(n==0)
{
cout<<0<<endl;
return 0;
}
if(n==1||n==2)
{
cout<<1<<endl;
return 0;
}
else
{
yl a;
a.n=2;
a.g[1][1]=a.g[1][2]=a.g[2][1]=1;
a.g[2][2]=0;
yl s=Pow(a,n-1);
s.n=2;
//write(s);
cout<<s.g[1][1]<<endl;
return 0;
}
}