最大似然估计（MLE）与最大后验估计（MAP）

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1） 最大似然估计 MLE

给定一堆数据，假如我们知道它是从某一种分布中随机取出来的，可是我们并不知道这个分布具体的参，即“模型已定，参数未知”。例如，我们知道这个分布是正态分布，但是不知道均值和方差；或者是二项分布，但是不知道均值。 最大似然估计（MLE，Maximum Likelihood Estimation）就可以用来估计模型的参数。MLE的目标是找出一组参数，使得模型产生出观测数据的概率最大：



其中

就是似然函数，表示在参数

下出现观测数据的概率。我们假设每个观测数据是独立的，那么有



为了求导方便，一般对目标取log。 所以最优化对似然函数等同于最优化对数似然函数：



举一个抛硬币的简单例子。 现在有一个正反面不是很匀称的硬币，如果正面朝上记为H，方面朝上记为T，抛10次的结果如下：



求这个硬币正面朝上的概率有多大？

很显然这个概率是0.2。现在我们用MLE的思想去求解它。我们知道每次抛硬币都是一次二项分布，设正面朝上的概率是

，那么似然函数为：



x=1表示正面朝上，x=0表示方面朝上。那么有：



求导：



令导数为0，很容易得到：



也就是0.2 。

2） 最大后验概率  MAP

以上MLE求的是找出一组能够使似然函数最大的参数，即

。 现在问题稍微复杂一点点，假如这个参数

有一个先验概率呢？比如说，在上面抛硬币的例子，假如我们的经验告诉我们，硬币一般都是匀称的，也就是

=0.5的可能性最大，

=0.2的可能性比较小，那么参数该怎么估计呢？这就是MAP要考虑的问题。
MAP优化的是一个后验概率，即给定了观测值后使

概率最大：



把上式根据贝叶斯公式展开：



我们可以看出第一项

就是似然函数，第二项

就是参数的先验知识。取log之后就是：



回到刚才的抛硬币例子，假设参数

有一个先验估计，它服从Beta分布，即：



而每次抛硬币任然服从二项分布：



那么，目标函数的导数为：



求导的第一项已经在上面MLE中给出了，第二项为：



令导数为0，求解为：



其中，

表示正面朝上的次数。这里看以看出，MLE与MAP的不同之处在于，MAP的结果多了一些先验分布的参数。