最大连续子序列和：递归和动态规划

问题描述：

给定一个整数序列，a0, a1, a2, …… , an（项可以为负数），求其中最大的子序列和。如果所有整数都是负数，那么最大子序列和为0；


方法一：

用了三层循环，因为要找到这个子序列，肯定是需要起点和终点的，所以第一层循环确定起点，第二层循环确定终点，第三层循环在起点和终点之间遍历。时间复杂度：O(N^3)

package secondCHA;

public class maxSUM1 {

static int MaxSubSequence( int A[]){
int ThisSum,MaxSum,i,j,k;
int N=A.length;
MaxSum = 0;
for(i=0;i<N;i++)
{
for(j=i;j<N;j++)
{
ThisSum = 0;
for(k=i;k<=j;k++)
{
ThisSum += A[k];
}
if(ThisSum > MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
}
}
return MaxSum;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] a={4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
System.out.println(MaxSubSequence(a));
}

}

方法二：

只用了两层循环，相当于是第一层用来找到每个可能的子序列的起点，而第二个循环直接从第一层确定的起点往数组结尾遍历，在遍历的过程中同时也计算序列值。前两种方法都是穷举法，都是把所有可能的子序列都找出来，然后计算值再和最大值比较。

package secondCHA;

public class maxSUM2 {
static int MaxSubSequence( int A[]){
int N=A.length;
int ThisSum,MaxSum,i,j;
MaxSum = 0;
for(i=0;i<N;i++)
{
ThisSum = 0;
for(j=i;j<N;j++)
{
ThisSum += A[j];
if(ThisSum > MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
}
}
return MaxSum;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] a={4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
System.out.println(MaxSubSequence(a));
}

}

方法三：

用到了递归，用到了这样一种思想，当然要我肯定想不到，纯属借鉴了：

对于一数字序列，其最大连续子序列和对应的子序列可能出现在三个地方。或是整个出现在输入数据的前半部（左），或是整个出现在输入数据的后半部（右），或是跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。前两种情况可以通过递归求解，第三种情况可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）而得到，然后将这两个和加在一起即可。

主要从递归的角度分析，把问题分为了小问题，处理的过程都一样，嗯，所以就用递归了。然后递归重要在于理解两步，过程和终点。

首先分析终点，子问题一步步被划分，最终，明显看出，原始序列最终会被分为一个长度为1的子序列（一个大于1的数一直除，肯定会到1的），把长度为1的子序列当成原问题，那么根据题意，如果是正数，就要，如果是负数，不如不要，就为0。所以，递归的终点设置得正确。

然后分析过程，分析递归的过程，在debug的过程中，你能发现，递归最开始是一直拆分子问题，直到到达递归终点再一层一层倒着返回调用结果。可以把递归过程看成一个二叉树，所以递归终点就是此递归过程二叉树的最后一层，而在以下程序中， MaxLeftSum = MaxSubSum(A,Left,Center); 这句就是左孩子，MaxRightSum =
MaxSubSum(A,Center+1,Right);就是右孩子。而左孩子语句先执行，所以过程最开始一定是往左下方向直到第一个终点，观察程序中的数组，第一个终点之前前肯定是传递了一个{4，-3}的数组进去，再一分为二，然后传递{4}进去返回4，传递-3进去，返回0，再把他们左右序列最大值（因为两序列各只有一个，且这里必须包含左序列最右和右序列最左，所以这里就是这俩序列自身）加起来，为1。分析了这个问题的规模最小的问题，发现了这个递归的过程确实没有毛病。

理解了终点和过程，那么这个递归你也就理解了。

但是首先你得先想到这种思想，你才有前提写出这递归代码。

package secondCHA;

public class maxSUM3 {

static int MaxSubSum( int A[], int Left, int Right)
{
int MaxLeftSum,MaxRightSum;
int MaxLeftBorderSum,MaxRightBorderSum;
int LeftBorderSum,RightBorderSum;
int Center,i;

if(Left == Right)
{
if(A[Left] > 0)
return A[Left];
else
return 0;
}

Center = (Left + Right)/2;
MaxLeftSum = MaxSubSum(A,Left,Center);
MaxRightSum = MaxSubSum(A,Center+1,Right);

MaxLeftBorderSum = 0;
LeftBorderSum = 0;
for(i = Center;i >= Left;i--)
{
LeftBorderSum += A[i];
if(LeftBorderSum > MaxLeftBorderSum)
MaxLeftBorderSum = LeftBorderSum;
}

MaxRightBorderSum = 0;
RightBorderSum = 0;
for(i = Center+1;i <= Right;i++)
{
RightBorderSum += A[i];
if(RightBorderSum > MaxRightBorderSum)
MaxRightBorderSum = RightBorderSum;
}

return Max(MaxLeftSum,MaxRightSum,MaxLeftBorderSum + MaxRightBorderSum);
}

static int Max(int a, int b, int c)
{
if(a>b&&a>c)
return a;
else if(b>a&&b>c)
return b;
else
return c;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] a={4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
int left=0;
int right=a.length-1;
System.out.println(MaxSubSum(a,left,right));
}

}

方法四：

这种方法应该也算动态规划吧，毕竟把递归变成了非递归（但我这么理解不对，非递归不等于动态规划）。算法书说这是联机算法，特点是仅需要常量空间和线性时间运行。

重点还是在于理解算

1.只有一个for循环，循环里的j变量理解成序列的起点，但是这个起点有时会跳过若干数，当当前计算的序列a[i]到a[j]的和ThisSum一旦为负时，则ThisSum归零，因为for循环的循环变量加1，则从a[j+1]开始加和，即起点跳到了负数和的子序列的下一个数字。

2.理解这样的事实，一个子序列必然是以正数开头的，因为如果以负数开头，那么去掉这个子序列，那得到一个更优解。

3.还有这么个事实，一个子序列，如果一旦他的前若干个数字组成的新的个数更少的子序列的和为负数，那么去掉这个子序列，便能得到了一个更优解。

4.MaxSum若遇到更大的和则更新，若遇到更小的和，则不更新（没有动作）。ThisSum则充分利用了第二个事实，当某个时刻子序列为负数，则归零即相当于去掉了这子序列所有数字，从下一个数字从新开始加和。

5.其实第二个事实，不是那么好理解，关键在于，去掉是当一旦出现了和为负数（之前的和都是>=0的，但是加了下一个数后和就为负数了）的子序列，就去掉这个子序列，而且这时，子序列最后一个数肯定为负数，因为是没加最后一个数时和还为正数，但一加上了就变成负数，所以这最后一个数肯定是负数。假设这个负数为a[i],现在归零了，从a[i+1]开始加和了，思考以a[i]为结果的刚才去掉的这个序列（这里指去掉的子序列的任意数到这个序列的最后一个数，的这些所有可能的子序列，因为是要求连续，所以是任意到结尾的某个序列考虑是否该加回去）是不是不该去掉呢，为了证明，我们可以从去掉的序列的最后一个a[i]（第一种可能是只有最后那个数）开始加回去，你会加上a[i]，因为a[i]是负数，所以加了和反而变小了，不该加。如果加上a[i-1]和a[i]呢，a[i-1]和a[i]的和肯定也是负数，这个负数可能比a[i]小，也可能大但肯定是个负数（举例：1,2，-5和2，-1，-5），前者是大一点的负数，后者是小一点的负数，但是必然的，加回去的序列和肯定还是负数，共同点是-5是造成序列和变成负数的那个第一个数，同理可得从任意处开始到结尾的序列的和必须也是负数，即是所有这些可能的序列都不应该加回去。——所以，一旦序列和为负数，那么这个序列就应该去掉了。（不会出现这种情况，比如去掉这个子序列2,1，-5,1（和为-1），因为当i移动到-5时，就已经去掉了，也证明了去掉的子序列的最后一个数是负数）

package secondCHA;

public class maxSUM4 {
static int MaxSubSequence( int A[])
{
int N=A.length;
int ThisSum,MaxSum,j;
ThisSum = MaxSum =0;
for(j = 0;j < N;j++)
{
ThisSum += A[j];

if(ThisSum > MaxSum)
MaxSum = ThisSum;
else if(ThisSum < 0)
ThisSum = 0;
}
return MaxSum;
}
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
int[] a={4,-3,5,-2,-1,2,6,-2};
System.out.println(MaxSubSequence(a));
}

}