向量点乘 推导及应用

u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)

dot（点乘 & 内积）
结果是一个float，表示两个向量的夹角。点积公式：u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)
如果点乘的结果为0，那么这两个向量互相垂直；如果结果大于0，那么这两个向量的夹角小于90度；如果结果小于0，那么这两个向量的夹角大于90度

例子:



图(a)中 向量AC投影到v

图(b)定义了

由向量v顺时针旋转90°得到.从c向L做垂线,可以将c分解成沿v方向的部分Kv和垂直v方向的部分

,其中K M是特定的常数.即:

(1)


给定c和v,我们想得到K和M.求出这两个值后,我们可以说c到v的正交投影是Kv并且点C到直线的距离是

.

求解含量个未知数的两个方程的方法是消去一个未知数,即:让等式两边都点乘v

(2)


根据 如果点乘的结果为0，那么这两个向量互相垂直 得知

结果是0所以

(3)


即:

(4)


同理:让等式(1)两边同时点乘

可以得到

(5)


合并以上结果

(6)


投影应用:反射



假设 a n都是单位向量
那么a在n上的投影是-a点成n



r-a是在这一投影的基础上又加上一个

也就是说r-a是沿方向n,长度为

的向量.
于是