斯特林公式（n的阶乘近似）

斯特林公式

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斯特林公式（Stirling's approximation）是一条用来取n的阶乘的近似值的数学公式。一般来说，当n很大的时候，n阶乘的计算量十分大，所以斯特林公式十分好用，而且，即使在n很小的时候，斯特林公式的取值已经十分准确。

中文名
斯特林公式
外文名
Stirling's approximation
别    称
斯特灵公式
表达式
n!≈√(2πn)·(n/e)^n
提出者
亚伯拉罕 棣莫弗
应用学科
数学
适用领域范围
数学
适用领域范围
数学

目录

1 定义

2 应用

▪ 求n!的位数

3 斯特林公式的形式

4 证明

5 更加精确的公式

定义

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斯特林公式在理论和应用上都具有重要的价值，对于概率论的发展也有着重大的意义。在数学分析中，大多都是利用Г函数、级数和含参变量的积分等知识进行证明或推导，很为繁琐冗长。近年来，一些国内外学者利用概率论中的指数分布、泊松分布、χ²分布证之。

应用

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求n!的位数

利用斯特林（Stirling）公式的进行求解。下面是推导得到的公式：

　　res=(long)( (log10(sqrt(4.0*acos(0.0)*n)) + n*(log10(n)-log10(exp(1.0)))) + 1 );

　　当n=1的时候，上面的公式不适用，所以要单独处理n=1的情况！

　　这种方法速度很快就可以得到结果。

斯特林公式的形式

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或更精确的



或

证明

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令
 


则
 






所以
 

 
即
 

 
，即单调递减，又由积分放缩法有
 


即
 

 
，即
 


由单调有界定理
 

 
的极限存在，

设
 




利用Wallis公式，
 




所以
 




即
 

更加精确的公式

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更加精确的近似公式为：



其中：

.


 
斯特林公式实际上是以下级数（现在称为斯特林级数）的第一个近似值。