CodeForces 441 E.Valera and Number（概率DP）

Description

//input: integers x, k, p

a = x;

for(step = 1; step <= k; step = step + 1){

rnd = [random integer from 1 to 100];

if(rnd <= p)

a = a * 2;

else

a = a + 1;

}

s = 0;

while(remainder after dividing a by 2 equals 0){

a = a / 2;

s = s + 1;

}

给出x,k,p，问s的期望值

Input

输入三个整数x,k,p(1<=x<=1e9,1<=k<=200,0<=p<=100)

Output

输出s的期望值，相对误差和绝对误差均不能超过1e-6

Sample Input

1 1 50

Sample Output

1.0000000000000

Solution

dp[i][j][k][l]表示第i步，a的二进制表示后八位是j，第九位是k，从第九位开始连续的和第九位相同的数的个数为l的概率

第i轮，a有p的概率乘2，有q=1-p的概率加1

一：乘2：

1.j的第八位是1，若第九位是1，那么乘2后从第九位还是1，连续相同的数的个数就变成k+1；若第九位是0，那么乘2后第九位变成1，连续相同的数的个数就是1

2.j的第八位是0，若第九位是1，那么乘2后第九位变成0，连续相同的数的个数就是1；若第九位是0，那么乘2后第九位还是0，连续相同的数的个数就变成k+1

二：加1

1.j是255，那么加1之后会进位，如果第九位是1，那么进位后第九位变成0，连续相同的数的个数变成1；如果第九位是0，那么进位后第九位变成1，连续相同的数的个数也变成1

2.j小于255，那么加1之后不会影响第九位的值和从第九位开始连续相同的数的个数

在知道了所有dp值之后，只需要统计每种状态的二进制表示后连续0的个数即可，能够用到第九位及之后的0必须前八位都是0，所以dp[K][0][0][k]状态对答案贡献就是8+k，dp[K][0][1][k]状态对答案贡献就是8，而对于其他的状态，后八位不是0，介于1~255之间，设为i，暴力求出i二进制表示后面连续1的个数cnt即为该状态对答案的贡献

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
double dp[222][256][2][255],p,q;
int X,K;
int main()
{
while(~scanf("%d%d%lf",&X,&K,&p))
{
p/=100.0;
q=1.0-p;
int a[33],res=0,n=X%256;
while(X)a[res++]=X%2,X/=2;
memset(dp,0,sizeof(dp));
if(res<9)dp[0]
[0][0]=1;
else
{
int cnt=1;
for(int i=9;i<res;i++)
if(a[i]==a[i-1])cnt++;
else break;
dp[0]
[a[8]][cnt]=1;
}
for(int i=0;i<K;i++)
for(int j=0;j<=255;j++)
for(int k=0;k<=240;k++)
{
if(j&128)
{
dp[i+1][(j<<1)%256][1][1]+=dp[i][j][0][k]*p;
dp[i+1][(j<<1)%256][1][k+1]+=dp[i][j][1][k]*p;
}
else
{
dp[i+1][(j<<1)%256][0][k+1]+=dp[i][j][0][k]*p;
dp[i+1][(j<<1)%256][0][1]+=dp[i][j][1][k]*p;
}
if(j==255)
{
dp[i+1][0][1][1]+=dp[i][j][0][k]*q;
dp[i+1][0][0][k]+=dp[i][j][1][k]*q;
}
else
{
dp[i+1][j+1][0][k]+=dp[i][j][0][k]*q;
dp[i+1][j+1][1][k]+=dp[i][j][1][k]*q;
}
}
double ans=0;
for(int k=0;k<=240;k++)ans+=dp[K][0][0][k]*(8+k)+dp[K][0][1][k]*8;
for(int i=1;i<=255;i++)
{
int temp=i,cnt=0;
while(temp%2==0)cnt++,temp/=2;
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<=240;k++)
ans+=dp[K][i][j][k]*cnt;
}
printf("%.10f\n",ans);
}
return 0;
}