倍增lca学习笔记（codevs2370小机房的树题解）

lca即为最近公共祖先，求两个点的lca有两种方法，一是暴力求解，二是倍增求解。

这里主要讲倍增求解lca，时间复杂度nlogn。

主要思想：

首先用一个数组anc[u][i]表示从u节点跳2^i步到得位置，deep[]表示深度

关于anc数组有一个递推公式：anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1]; 这个公式就是先从u点跳2^i-1步再从anc[u][i-1]这个位置跳2^i-1步到达跳2^i的位置。假如树边上有权值的话，我们算dis[u->v]的权值可以用到lca，即dis[u->v]=dis[u]+dis[v]-2*dis[lca(u,v)]。预处理anc时是anc[u][0] = fa(父节点)。OK,找lca时首先让两个节点到达同一深度，先使u处在较深的地方，算出u，v的高度差d，把d转换成二进制，假如是0101，那么就需要u往上跳2^0+2^2步，所以这里用到位运算：if（dd&(1< < i))

就是如果d的i位是1，就跳2^i步，记得i是从0开始的，等跳到和v同一深度以后，在和V一起往上跳，这时候我们刚开始要跳的远一点，如果超出了就不跳，如果没超出并且也不是到达公共祖先就跳，这样跳到最后，u和v一定是最近公共祖先的左右两个子节点，这时候他们的lca就是他们的父节点。

以小机房的树为例，代码如下

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 50000+5;
int head[MAXN],tot,dis[MAXN],anc[MAXN][21],deep[MAXN];
bool vis[MAXN];
struct Edge
{
int from,to,cos,nxt;
}e[MAXN <<2];
void build(int f,int t,int d)
{
e[++tot] = (Edge){f,t,d};
e[tot].nxt = head[f];
head[f] = tot;
}
void dfs(int u)
{
vis[u] = 1;//由于是建的是双向边，这里一定要做标记
for(int i = 1; i <= 20; i ++)
{
anc[u][i] = anc[anc[u][i-1]][i-1];//递推式
}
for(int i = head[u]; i ; i = e[i].nxt)//遍历边
{
int t = e[i].to ;
if(vis[t]) //如果处理过这条边就不再处理
continue;
anc[t][0] = u;//下一个点的父亲节点是该点
deep[t] = deep[u]+1;
dis[t] = dis[u]+e[i].cos;//更新权值
dfs(t);
}
}
int lca(int u,int v)
{
if(deep[u] < deep[v])//将u变成较深的那个点
swap(u,v);
int dd = deep[u] - deep[v];
for(int i = 0;i <= 20; i ++)
if(dd&(1<<i))
u = anc[u][i];//跳到与v同一深度
for(int i = 20 ; i >= 0 ; i --)
{
if(anc[u][i] != anc[v][i])//一同往上跳
{
u = anc[u][i];
v = anc[v][i];
}
}
if(u == v)
return u;
else
return anc[u][0];//返回它们的父节点即lca
}
int main()
{
int n,m;
scanf("%d",&n);
int u,v,c;
for(int i = 1; i <= n-1; i ++)
{
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
build(u,v,c);
build(v,u,c);
anc[u][0] = v;//预处理跳2^0步即跳到父节点
anc[v][0] = u;
}
dis[0]=0;
dfs(0);
scanf("%d",&m);
for(int i = 1; i <= m; i ++)
{
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
printf("%d\n",dis[u]+dis[v] - 2*dis[lca(u,v)]);
}
return 0;
}