康托展开-全排列的编码与解码
2017-07-15 17:07
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一、康托展开:全排列到一个自然数的双射
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai为整数,并且0<=ai<i(1<=i<=n)
适用范围:没有重复元素的全排列
二、全排列的编码:
{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种,将它们从小到大排序,怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个?
如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
这样考虑:第一位是3,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位,小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于32
的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。(注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1)
再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个,0*3!,第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2,1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数,0*1!,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。
又例如,排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884,因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
解释:
排列的第一位是3,比3小的数有两个,以这样的数开始的排列有8!个,因此第一项为2*8!
排列的第二位是5,比5小的数有1、2、3、4,由于3已经出现,因此共有3个比5小的数,这样的排列有7!个,因此第二项为3*7!
以此类推,直至0*0!
?
三、全排列的解码
如何找出第16个(按字典序的){1,2,3,4,5}的全排列?
1. 首先用16-1得到15
2. 用15去除4! 得到0余15
3. 用15去除3! 得到2余3
4. 用3去除2! 得到1余1
5. 用1去除1! 得到1余0
有0个数比它小的数是1,所以第一位是1
有2个数比它小的数是3,但1已经在之前出现过了所以是4
有1个数比它小的数是2,但1已经在之前出现过了所以是3
有1个数比它小的数是2,但1,3,4都出现过了所以是5
最后一个数只能是2
所以排列为1 4 3 5 2
?
X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0!
ai为整数,并且0<=ai<i(1<=i<=n)
适用范围:没有重复元素的全排列
二、全排列的编码:
{1,2,3,4,...,n}的排列总共有n!种,将它们从小到大排序,怎样知道其中一种排列是有序序列中的第几个?
如 {1,2,3} 按从小到大排列一共6个:123 132 213 231 312 321。想知道321是{1,2,3}中第几个大的数。
这样考虑:第一位是3,小于3的数有1、2 。所以有2*2!个。再看小于第二位,小于2的数只有一个就是1 ,所以有1*1!=1 所以小于32
的{1,2,3}排列数有2*2!+1*1!=5个。所以321是第6个大的数。2*2!+1*1!是康托展开。(注意判断排列是第几个时要在康托展开的结果后+1)
再举个例子:1324是{1,2,3,4}排列数中第几个大的数:第一位是1小于1的数没有,是0个,0*3!,第二位是3小于3的数有1和2,但1已经在第一位了,所以只有一个数2,1*2! 。第三位是2小于2的数是1,但1在第一位,所以有0个数,0*1!,所以比1324小的排列有0*3!+1*2!+0*1!=2个,1324是第三个大数。
又例如,排列3 5 7 4 1 2 9 6 8展开为98884,因为X=2*8!+3*7!+4*6!+2*5!+0*4!+0*3!+2*2!+0*1!+0*0!=98884.
解释:
排列的第一位是3,比3小的数有两个,以这样的数开始的排列有8!个,因此第一项为2*8!
排列的第二位是5,比5小的数有1、2、3、4,由于3已经出现,因此共有3个比5小的数,这样的排列有7!个,因此第二项为3*7!
以此类推,直至0*0!
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如何找出第16个(按字典序的){1,2,3,4,5}的全排列?
1. 首先用16-1得到15
2. 用15去除4! 得到0余15
3. 用15去除3! 得到2余3
4. 用3去除2! 得到1余1
5. 用1去除1! 得到1余0
有0个数比它小的数是1,所以第一位是1
有2个数比它小的数是3,但1已经在之前出现过了所以是4
有1个数比它小的数是2,但1已经在之前出现过了所以是3
有1个数比它小的数是2,但1,3,4都出现过了所以是5
最后一个数只能是2
所以排列为1 4 3 5 2
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