康托展开-全排列应用
2017-07-15 17:04
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我排第几个
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描述
现在有"abcdefghijkl”12个字符,将其所有的排列中按字典序排列,给出任意一种排列,说出这个排列在所有的排列中是第几小的?
输入第一行有一个整数n(0<n<=10000);
随后有n行,每行是一个排列;输出输出一个整数m,占一行,m表示排列是第几位;样例输入
3 abcdefghijkl hgebkflacdji gfkedhjblcia
样例输出
1 302715242 260726926
普及一下数学知识
康托展开 康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。 这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! 关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥? a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。 a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。 a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。 a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0) 所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
A B C | 0
A C B | 1
B A C | 2
B C A | 3
C A B | 4
C B A | 5
通过康托逆展开生成全排列
如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:
知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回 s 的第 m 个排列。
前面的内容从http://archive.cnblogs.com/a/2026276/转载
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; long long fact[13]; char str[15]; int main() { memset(fact,0,sizeof(fact)); fact[0]=1; for(int i=1;i<=12;i++) { fact[i]=fact[i-1]*i; } int t; cin>>t; getchar(); while(t--) { gets(str); long long sum=0; int len=strlen(str); for(int i=0; str[i]; i++) { int cnt=0; for(int j=i+1; str[j]; j++) { if(str[i]>str[j]) { cnt++; } } sum+=cnt*fact[len-1-i]; } cout<<sum+1<<endl; } return 0; }
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