带花树算法--一般图最大匹配

可以在uoj#79测试模板题

如标题，简单地介绍一下带花树算法，提供一个自认为不错的模板

安利一篇介绍得很详细的blog

由于本人实在太蒻。。。这篇blog就不讲述任何关于算法正确性的证明吧

(也许以后会有兴趣翻译原论文：EfficientAlgorithmsforFindingMaximalMatchinginGraphs，不过现在肯定是懒了。。)

可能有些选手会想苟蒻我一样懒，二分图匹配只会用Dinic做法，建议学习带花树之前看一下匈牙利算法

就像匈牙利算法一样，带花树算法的核心也是类似地每次找增广路

假设对于原图的k个点，已经找到了一些匹配，先把这些匹配留着

选择一个尚未匹配的点s，作为起点，进行bfs，保留bfs树

每次遍历到一个点，如果它也没匹配，那非常棒！因为这样就找到了一条增广路，直接增广即可。

否则，记这个点为u，记它的配偶为v

对点u，标记为T节点，对于v，标记为S节点，并把v入队，继续bfs

(带上起点s，显然，每时每刻在队列中的点都是S类节点)

那么得到的bfs树画出来大概就是这样的



其中红色节点为起点

显然，有的时刻，从某个点出发，路径上下一个点是被访问过的，哪怎么办？

对这个节点分类讨论

1.这个点是T节点



就像图中蓝线连接的边，显然，此时找到了一个偶环，忽略即可

2.这个点是S节点



还是图中的蓝线，此时就找到了一个长度为奇数的环

不过这时候的情况并不简单。。。显然，找不到一个方案构造增广路

但是，如果这个环上存在任意一个点，使得这个点连接的点中存在一个未匹配点

那么显然，此时可以构造出一条一路回溯的增广路

那么，这个时候这个奇环上任意一个点有边连接未匹配点都是等价的

于是，可以将这个奇环缩成一个新点，然后再继续进行bfs，直到找到增广路为止(或是证明不存在)

至此，带花树算法求解一般图匹配的基本步骤就大致清晰了

bfs->缩环->bfs->缩环->…->缩环->bfs->找到增广路

那么找到增广路时，就是沿路将匹配情况取反，以及，我们需要把沿途经过的环(带花树的花)一个个展开。。。？？？

完全没有写的欲望？？不知代码从何下手？？？

这边提供一个本人认为较容易实现的板子。。(反正这个算法都是靠板子？)

首先，对于每次选择的bfs起点，1~n for一遍就行了

每次判断当前点是否已配对，如果没有，才进行bfs

对于每个遍历到的T类点，记录pre[i]为找到它的S类点编号

每次出现S找到S的情况就需要进行缩环

对于缩出来的环，只找一个环上的S点作为它的代表点

如果一朵花被包含在另一朵花内，那么这朵花就不再表示出来了

其实我们不需要真正地去做这个缩环的过程，

只需要对每朵花内的pre数组进行适当修改就行了

大概如图所示：



这是一个S找到S的情形

只需要大力将每个S的pre边连上就行了

显然，如果一个点找到了合法的匹配对象(即一个未匹配点)

我们可以很轻松的通过pre边把需要修改的环修改掉

具体操作不妨参考本人代码中的函数

Link为缩环函数

Rebuild为上述需要更改的pre边

Augment则为增广函数

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<bitset>
using namespace std;

const int N = 505;

int n,m,cnt,Num[105][7],fa
,pre
,Mark
,mat
,vis
;

queue <int> Q;
vector <int> v
;

inline int Getfa(int x)
{
return x == fa[x] ? x : fa[x] = Getfa(fa[x]);
}

inline int getint()
{
char ch = getchar(); int ret = 0;
while (ch < '0' || '9' < ch) ch = getchar();
while ('0' <= ch && ch <= '9')
ret = ret * 10 + ch - '0',ch = getchar();
return ret;
}

void Build()
{
n = getint(); m = getint();
while (m--)
{
int x = getint(),y = getint();
v[x].push_back(y); v[y].push_back(x);
}
}

inline void Augment(int p)
{
while (p != -1)
{
int tmp = mat[pre[p]]; mat[p] = pre[p];
mat[pre[p]] = p; p = tmp;
}
}

inline void Rebuild(int x,int y,int lca)
{
while (Getfa(x) != lca)
{
pre[x] = y;
if (fa[x] == x) fa[x] = lca;
if (fa[mat[x]] == mat[x]) fa[mat[x]] = lca;
if (Mark[mat[x]] == 1) {Q.push(mat[x]); Mark[mat[x]] = 0;}
y = mat[x]; x = pre[y];
}
}

inline void Link(int x,int y)
{
++cnt; int p = Getfa(x);
for (;;)
{
vis[p] = cnt; p = mat[p];
if (p == -1) break; p = Getfa(pre[p]);
}
int lca; p = Getfa(y);
for (;; p = Getfa(pre[mat[p]]))
if (vis[p] == cnt) {lca = p; break;}
Rebuild(x,y,lca); Rebuild(y,x,lca);
}

inline int BFS(int s)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
fa[i] = i,Mark[i] = pre[i] = -1;
while (!Q.empty()) Q.pop(); Mark[s] = 0; Q.push(s);
while (!Q.empty())
{
int k = Q.front(); Q.pop();
for (int i = 0; i < v[k].size(); i++)
{
int to = v[k][i];
if (Getfa(to) == Getfa(k)) continue;
if (Mark[to] == -1)
{
Mark[to] = 1; pre[to] = k;
if (mat[to] == -1)
{
Augment(to); return 1;
}
Mark[mat[to]] = 0; Q.push(mat[to]);
}
else if (Mark[to] == 0) Link(to,k);
}
}
return 0;
}

int main()
{
#ifdef DMC
freopen("DMC.txt","r",stdin);
#endif

int Ans = 0; Build();
for (int i = 1; i <= n; i++) mat[i] = -1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
if (mat[i] == -1) Ans += BFS(i);
cout << Ans << endl;
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d%c",mat[i] == -1 ? 0 : mat[i],i == n ? '\n' : ' ');
return 0;
}