CJOJ 1331 【HNOI2011】数学作业 / Luogu 3216 【HNOI2011】数学作业 / HYSBZ 2326 数学作业(递推,矩阵)
2017-07-15 14:36
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CJOJ 1331 【HNOI2011】数学作业 / Luogu 3216 【HNOI2011】数学作业 / HYSBZ 2326 数学作业(递推,矩阵)
Description
小 C 数学成绩优异,于是老师给小 C 留了一道非常难的数学作业题:给定正整数 N 和 M,要求计算 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值,其中 Concatenate (1 ..N)是将所有正整数 1, 2, …, N 顺序连接起来得到的数。例如,N = 13, Concatenate (1 .. N)=12345678910111213.小C 想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目,于是他只好向你求助,希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。
Input
从文件input.txt中读入数据,输入文件只有一行且为用空格隔开的两个正整数N和M,其中30%的数据满足1≤N≤1000000;100%的数据满足\[1≤N≤10^{18}且1≤M≤10^{9}\].Output
输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数,表示 Concatenate (1 .. N) Mod M 的值。Sample Input
13 13Sample Output
4Http
CJOJ:http://oj.changjun.com.cn/problem/detail/pid/1331Luogu:https://www.luogu.org/problem/show?pid=3216
HYSBZ:https://vjudge.net/problem/HYSBZ-2326
Source
递推,矩阵解决思路
根据题意,我们可以设出递推式f[i]=f[i-1]*Num[i]+i,其中Num[i]是i的位数。因为题目中数据范围很大,所以我们很自然地就想到了矩阵优化(如果读者您还不知道什么是矩阵、矩阵优化或是矩阵快速幂,可以到我的这一篇文章中阅读)我们可以列出的矩阵递推式是:
\[F_i=F_{i-1}*T=\begin{bmatrix} f_{i-1}&i&1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} Num[i] & 0 & 0\\1 & 1&0 \\ 0& 1&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f_i=f_{i-1}*Num[i] & i+1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\]
但是这样有一个问题,这个递推矩阵T中有一个数是变量,这不符合我们要实现矩阵快速幂的要求,若直接相乘,就失去了我们用矩阵优化的意义。
于是我们再次观察题目,题目中表示了数字不会超过18位,那么我们就对每一位分情况进行矩阵乘法,如1~9时,T[0][0]为10,10~99时T[0][0]为100,100~999时T[0][0]为1000,依次类推,分别进行快速幂计算,这样就能达到优化的目的了。
代码
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; #define ll long long ll n,m; class Matrix//定义矩阵 { public: ll M[3][3]; Matrix() { memset(M,0,sizeof(M)); } Matrix(ll Arr[3][3]) { for (int i=0;i<3;i++) for (int j=0;j<3;j++) M[i][j]=Arr[i][j]; } }; Matrix operator * (Matrix A,Matrix B)//重载乘法操作 { Matrix Ans; for (int i=0;i<3;i++) for (int j=0;j<3;j++) for (int k=0;k<3;k++) Ans.M[i][j]=(Ans.M[i][j]+A.M[i][k]*B.M[k][j]%m)%m; return Ans; } int main() { cin>>n>>m; ll now; ll last=0; ll a[3][3]={{0,1,1},{0,0,0},{0,0,0}}; ll b[3][3]={{0,0,0},{1,1,0},{0,1,1}}; Matrix A(a); for (ll i=10;last<n;i=i*10)//分情况进行矩阵快速幂 { b[0][0]=i%m; Matrix B(b); now=min(i-1,n)-last;//now是当前这么多位能到的最大数,如两位时是99-9=9,三位时是999-99=900,注意要与n取一次最小 //cout<<now<<' '<<last<<endl; //system("pause"); while (now!=0)//矩阵快速幂 { //cout<<now<<endl; if (now&1) A=A*B; B=B*B; now=now>>1; } last=min(i-1,n);//Last记录上次能到的最大数 } cout<<A.M[0][0]<<endl; return 0; }
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