抽象代数学习笔记(5) 运算
2017-07-15 11:21
246 查看
“运算”这个名词大家从小学就应该接触了,比如“四则运算”等等。不过在那个时候,运算一直是一个很模糊的概念,究竟什么是运算?我们接触的“加减乘除”为什么都被称作运算,它们在本质上有相同的地方?
设S是个非空集合,把S×S到S的映射称之为S上的二元运算,简称为S上的运算.
和我们之前说的映射一样,运算的定义离不开集合,因此谈论运算一定要说清楚运算是定义在哪个集合上。例如:映射f:x/y,(x,y)∈R×R 是一个运算,但是f:x/y,(x,y)∈I×I不是一个运算。
运算有两个基础性质:结合律,交换律。
若 (a∗b)∗c=a∗(b∗c) ,那么说运算*满足结合律
若 a∗b=b∗a ,那么说运算*满足交换律
这两个性质在大家学习初等代数的时候似乎是自然成立的,那是因为,之前接触的实数集合上的四则运算恰好满足了这两个性质。需要指出的是,在广义的运算上,这两条性质不一定成立。最简单的例子就是矩阵乘法不满足交换律。有些代数系统甚至不满足结合律,这些非结合代数是代数的一个重要研究领域。
运算定义的那个集合中可能会出现一个比较特殊的元素e,对于集合S任意元素s,有
s∗e=e∗s=e
元素e称为运算的单位元或者中性元。注意一下,这个元素不一定存在。
另外,还有一个特殊元素叫做零元。零元的概念一般出现在环论中,它的定义是对于集合S任意元素s,如果存在元素z,满足:
z∗s=s∗z=z
一个常见的零元是整数乘法中的整数0,对于整数集合中的任意元素i,都有i∗0=0∗i=0。或许,零元的名称就是这么来的。
到这里,学习抽象代数的预备知识就介绍完了,之后就要向大家介绍群—一个很基本的代数系统。
设S是个非空集合,把S×S到S的映射称之为S上的二元运算,简称为S上的运算.
和我们之前说的映射一样,运算的定义离不开集合,因此谈论运算一定要说清楚运算是定义在哪个集合上。例如:映射f:x/y,(x,y)∈R×R 是一个运算,但是f:x/y,(x,y)∈I×I不是一个运算。
运算有两个基础性质:结合律,交换律。
若 (a∗b)∗c=a∗(b∗c) ,那么说运算*满足结合律
若 a∗b=b∗a ,那么说运算*满足交换律
这两个性质在大家学习初等代数的时候似乎是自然成立的,那是因为,之前接触的实数集合上的四则运算恰好满足了这两个性质。需要指出的是,在广义的运算上,这两条性质不一定成立。最简单的例子就是矩阵乘法不满足交换律。有些代数系统甚至不满足结合律,这些非结合代数是代数的一个重要研究领域。
运算定义的那个集合中可能会出现一个比较特殊的元素e,对于集合S任意元素s,有
s∗e=e∗s=e
元素e称为运算的单位元或者中性元。注意一下,这个元素不一定存在。
另外,还有一个特殊元素叫做零元。零元的概念一般出现在环论中,它的定义是对于集合S任意元素s,如果存在元素z,满足:
z∗s=s∗z=z
一个常见的零元是整数乘法中的整数0,对于整数集合中的任意元素i,都有i∗0=0∗i=0。或许,零元的名称就是这么来的。
到这里,学习抽象代数的预备知识就介绍完了,之后就要向大家介绍群—一个很基本的代数系统。
相关文章推荐
- matlab学习笔记(三)---图像的代数运算
- 抽象代数学习笔记(9)阶数
- 线性代数学习笔记二:矩阵及其运算
- 抽象代数学习笔记(8)循环群
- 抽象代数学习笔记(11) 群上的可逆变换
- 抽象代数学习笔记(15)环
- 抽象代数学习笔记(2)关系
- 抽象代数学习笔记(14)商群
- 抽象代数学习笔记(10) 群的同构
- 抽象代数学习笔记(1) 集合
- 80X86学习笔记--算术运算指令
- Shell学习笔记---变量赋值与运算
- C++ Primer 学习笔记_51_类与数据抽象 -构造函数【上】
- IOS学习笔记---多目运算计算器
- C++学习笔记之多项式运算
- Machine Learning学习笔记:NumPy矩阵运算
- 麻省理工公开课:线性代数_学习笔记02
- 学习笔记---关系运算符、条件表达式、逻辑运算
- OpenCV学习笔记-形态学操作-腐蚀膨胀-开闭运算
- 表示-抽象-控制——系统结构模式学习笔记