NYOJ61 传纸条（一）(双线dp)

描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个m行n列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标(1,1)，小轩坐在矩阵的右下角，坐标(m,n)。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用0表示），可以用一个0-1000的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这两条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的两条路径。

输入

第一行输入N(0＜N<100)表示待测数据组数。

每组测试数据输入的第一行有2个用空格隔开的整数m和n，表示班里有m行n列（2<=m,n<=50）。

接下来的m行是一个m*n的矩阵，矩阵中第i行j列的整数表示坐在第i行j列的学生的好心程度（不大于1000）。每行的n个整数之间用空格隔开。

输出

每组测试数据输出共一行，包含一个整数，表示来回两条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

样例输入

1
3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

样例输出

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思路：

首先把问题转化为从（1，1）到（m，n）走，两个人的路线不能相交，设第一个人为（x1,y1）,第二个人为(x2,y2)

设dp[x1][y1][x2][y2]表示从起点（1，1）开始到点（x1，y1）（x2，y2）的最优路线，则它上一步有四种状态：

都从上面走：

dp[x1-1][y1][x2-1][y2]+mp[x1][y1]+mp[x2][y2]

都从左边走：

dp[x1][y1-1][x2][y2-1]+mp[x1][y1]+mp[x2][y2]

第一个从上面走，第二个从左面走：

dp[x1-1][y1][x2][y2-1]+mp[x1][y1]+mp[x2][y2]

第一个从左面走，第二个从上面走：

dp[x1][y1-1][x2-1][y2]+mp[x1][y1]+mp[x2][y2]

只需要求这四个的最大值，但是为了优化空间，我们知道

x1+y1=x2+y2=k(当前走的步数)

所以得到了：

dp[k][x1][x2]=max⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪dp[k−1][x1][x2]dp[k−1][x1−1][x2−1]dp[k−1][x1−1][x2]dp[k−1][x1][x2−1]

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <string>
#include <set>
#include <iostream>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <algorithm>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mod 1000007
#define N 8
#define M 12357
#define ll long long
using namespace std;
int map[60][60];
int dp[110][55][55];
int n,m;
int fmax(int a,int b,int c,int d)
{
return max(max(a,b),max(c,d));
}
int main()
{
int t;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
mem(dp,0);
mem(map,0);
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
scanf("%d",&map[i][j]);
for(int k=2; k<=m+n-1; k++)
for(int x1=1; x1<=n; x1++)
for(int x2=1; x2<=n; x2++)
{
int y1=k-x1;
int y2=k-x2;
if(y1>m||y2>m||y1<=0||y2<=0||x1<=x2)
continue;
dp[k][x1][x2]=fmax(dp[k-1][x1][x2],dp[k-1][x1-1][x2-1],dp[k-1][x1-1][x2],dp[k-1][x1][x2-1])+map[x1][y1]+map[x2][y2];
}
printf("%d\n",dp[m+n-1]
[n-1]);
}
return 0;
}