BZOJ 3309 DZY Loves Math

3309: DZY Loves Math

Description

对于正整数n，定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
给定正整数a,b，求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b)。

Input

第一行一个数T，表示询问数。
接下来T行，每行两个数a,b，表示一个询问。

Output

对于每一个询问，输出一行一个非负整数作为回答。

Sample Input

4

7558588 9653114

6514903 4451211

7425644 1189442

6335198 4957

Sample Output

35793453939901

14225956593420

4332838845846

15400094813

HINT

【数据规模】

T<=10000

1<=a,b<=10^7

　　这道题我足足写了一白板。因为这实在是一道好题。

　　我们要求∑∑f(gcd(i,j))，可以枚举d=gcd(i,j)

　　则有∑f(d)∑∑[gcd(i,j)==d]=∑f(d)∑∑e(gcd(i,j))=∑f(d)∑∑∑[k|i][k|j]mu(k)

　　即为∑f(d)∑mu(k)(n/dk)(m/dk)

　　令T=dk，则d|T,k=T/d，故有∑(n/T)(m/T)∑f(d)mu(T/d)。设g(T)=∑f(d)mu(T/d)。

/**************************************************************
Problem: 3309
User: Doggu
Language: C++
Result: Accepted
Time:11000 ms
Memory:166836 kb
****************************************************************/

#include <cstdio>
#include <algorithm>
const int N = 1e7+5;
int minpa
, a
, g
, prime
, ptot;
bool vis
;
void EULER(int n) {
for( int i = 2; i <= n; i++ ) {
if(!vis[i]) prime[++ptot]=i, minpa[i]=i, a[i]=1, g[i]=1;
for( int j = 1; j <= ptot; j++ ) {
if((long long)i*prime[j]>n) break;
vis[i*prime[j]]=1;
minpa[i*prime[j]]=prime[j];
a[i*prime[j]]=1;
g[i*prime[j]]=(a[i]==1?-g[i]:0);
if(i%prime[j]==0) {
minpa[i*prime[j]]=minpa[i]*prime[j];
a[i*prime[j]]=a[i]+1;
int temp=i/minpa[i];
if(temp==1) g[i*prime[j]]=1;
else g[i*prime[j]]=(a[temp]==a[i*prime[j]]?-g[temp]:0);
break;
}
}
}
for( int i = 1; i <= n; i++ ) g[i]+=g[i-1];
}
int main() {
int T, n, m;
EULER(1e7);
scanf("%d",&T);
while(T--) {
scanf("%d%d",&n,&m);
long long ans=0;
if(n>m) std::swap(n,m);
for( int a = 1, ed; a <= n; a = ed + 1 ) {
ed=std::min(n/(n/a),m/(m/a));
ans+=(long long)(g[ed]-g[a-1])*(n/a)*(m/a);
}
printf("%lld\n",ans);
}
}

狄利克雷卷积+函数推演+欧拉筛+分块