nyoj 571 整数划分(三)(递归)
2017-07-13 11:11
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整数划分(三)
描述整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。
输入
每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)
输出
对于输入的 n,k;
第一行: 将n划分成若干正整数之和的划分数。
第二行: 将n划分成k个正整数之和的划分数。
第三行: 将n划分成最大数不超过k的划分数。
第四行: 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。
第五行: 将n划分成若干不同整数之和的划分数。
第六行: 打印一个空行
样例输入
5 2
样例输出
7
2
3
3
3
提示
样例输出提示:
1.将5划分成若干正整数之和的划分为: 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1
2.将5划分成2个正整数之和的划分为: 3+2, 4+1
3.将5划分成最大数不超过2的划分为: 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2
4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为: 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1
5.将5划分成若干不同整数之和的划分为: 5, 1+4, 2+3
思路:
1.将n划分成若干个正整数之和(m表示为当前划分的最大值)
当n=1时,不论m的值为多少(m>0),只有一种划分即{1}; 当m=1时,不论n的值为多少,只有一种划分即n个1,{1,1 4000 ,1,...,1}; 当n<m时,由于最大值只能是n,所以此时f(n,m)=f(n,n); 当n=m时,根据划分中是否包含n,可以分为两种情况: (1) 划分中包含n的情况,只有一个即{n}; (2) 划分中不包含n的情况,这时划分中最大的数字也一定比n小,即n的所有(n-1)划分。 因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1); 当n>m时,根据划分中是否包含最大值m,可以分为两种情况: (1) 划分中包含m的情况,即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m, 可能再次出现m,因此是(n-m)的m划分,因此这种划分个数为f(n-m, m); (2) 划分中不包含m的情况,则划分中所有值都比m小,即n的(m-1)划分,个数为f(n,m-1); 因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);
2.将n划分成m个正整数之和
首先当m=1时,f(n,m)=1;当n<m时,f(n,m)=0; 然后根据划分的m个整数中是否包含1,可以分为两种情况: (1)假设分成的m个整数中不包含1,那么 此时 f (n-m,m)就是这部分的总情况,因为既然让它不包含1, 就先将m个整数都分出1,此时n变为n-m,再将n分为m个整数,这m个整数再加上原先分出的1,就肯定不含1了。 (2)假设分成的m个整数至少有一个1,那么此时f(n-1,m-1) 因此f(n,m)=f(n-m,m)+f(n-1,m-1);
3.将n划分成最大数不超过m(同1)
4.将n划分成若干奇正整数之和
将n划分成若干个正整数之和的改进版 我们首先需要调整边界状态:当m=1时,f(n,m)=1;当n=1而m>1时,f(n,m)=0 其次,我们需要调整状态转换公式: f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为:f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m) 这是因为我们不能取偶数,故而当m为奇数的时候,m-1为偶数(只能被选择0次),f(n,m-1)=f(n,m-2);
5.将n划分成若干不同正整数之和
将n划分成若干个正整数之和的改进版 此时我们需要调整我们的状态转换公式。 f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为:f(n-m,m-1)+f(n,m-1); (n>m) 为什么呢?因为每个数最多使用一次,f(n-m,m-1)表示我们取了数m,f(n,m-1)表示我们没取,但是 无论取不取数m我们以后都不会再次取数m了。 当然,我们还需要调整边界状态:当m=1时,f(n,m)=1;当n=1而m>1时,f(n,m)=0。 其他不变!
代码:
#include<stdio.h> const int N=50; const int maxn=55; int dp1[maxn][maxn],dp2[maxn][maxn],dp3[maxn][maxn],dp4[maxn][maxn]; void init() { //将n划分成若干个正整数之和(将n划分成最大数不超过m) dp1[0][0]=1; for(int i=0; i<=N; ++i) for(int j=1; j<=N; ++j) { if(j>i) dp1[i][j]=dp1[i][i]; else dp1[i][j]=dp1[i][j-1]+dp1[i-j][j]; } //将n划分成m个正整数之和 dp2[0][0]=1; for(int i=1; i<=N; ++i) dp2[i][1]=1; for(int i=2; i<=N; ++i) for(int j=2; j<=i; ++j) dp2[i][j]=dp2[i-1][j-1]+dp2[i-j][j]; //将n划分成若干奇正整数之和 for(int i=1; i<=N; ++i) dp3[i][1]=1; for(int i=1; i<=N; ++i) dp3[0][i]=1; dp3[0][0]=1; for(int i=1; i<=N; ++i) for(int j=2; j<=N; ++j) { if(j&1) { if(j>i) { if(i&1) dp3[i][j]=dp3[i][i]; else dp3[i][j]=dp3[i][i-1]; } else dp3[i][j]=dp3[i-j][j]+dp3[i][j-2]; } else dp3[i][j]=dp3[i][j-1]; } //将n划分成若干不同正整数之和 for(int i=1; i<=N; ++i) { dp4[0][i]=1; dp4[1][i]=1; } for(int i=2; i<=N; ++i) for(int j=1; j<=N; ++j) { if(j>i) dp4[i][j]=dp4[i][i]; else dp4[i][j]=dp4[i-j][j-1]+dp4[i][j-1]; } } int main() { init(); int n,k; while(~scanf("%d%d",&n,&k)) { printf("%d\n",dp1 ); printf("%d\n",dp2 [k]); printf("%d\n",dp1 [k]); printf("%d\n",dp3 ); printf("%d\n\n",dp4 ); } return 0; }
参考博客:
isiqi
苯苯的小木屋
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