nyoj 571 整数划分(三)（递归）

整数划分(三)

描述

整数划分是一个经典的问题。请写一个程序,完成以下要求。

输入

每组输入是两个整数n和k。(1 <= n <= 50, 1 <= k <= n)

输出

对于输入的 n,k;

第一行： 将n划分成若干正整数之和的划分数。

第二行： 将n划分成k个正整数之和的划分数。

第三行： 将n划分成最大数不超过k的划分数。

第四行： 将n划分成若干个 奇正整数之和的划分数。

第五行： 将n划分成若干不同整数之和的划分数。

第六行： 打印一个空行

样例输入

5 2

样例输出

7

2

3

3

3

提示

样例输出提示:

1.将5划分成若干正整数之和的划分为： 5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

2.将5划分成2个正整数之和的划分为： 3+2, 4+1

3.将5划分成最大数不超过2的划分为： 1+1+1+1+1, 1+1+1+2, 1+2+2

4.将5划分成若干 奇正整数之和的划分为： 5, 1+1+3, 1+1+1+1+1

5.将5划分成若干不同整数之和的划分为： 5, 1+4, 2+3

思路：

1.将n划分成若干个正整数之和（m表示为当前划分的最大值）

当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};
当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1
4000
,1,...,1};
当n＜m时，由于最大值只能是n，所以此时f(n,m)=f(n,n)；
当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
(2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。
因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
当n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
(1) 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,...xi}}, 其中{x1,x2,... xi} 的和为n-m，
可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);
(2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);
因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

2.将n划分成m个正整数之和

首先当m=1时，f(n,m)=1；当n＜m时，f(n,m)=0；
然后根据划分的m个整数中是否包含1，可以分为两种情况：
(1)假设分成的m个整数中不包含1，那么 此时 f (n-m，m)就是这部分的总情况，因为既然让它不包含１，
就先将m个整数都分出１，此时n变为n－m，再将n分为m个整数，这m个整数再加上原先分出的１，就肯定不含1了。
(2)假设分成的m个整数至少有一个１,那么此时ｆ(n-１，m-１)
因此f(n,m)=f(n-m,m)+f(n-1,m-1)；

3.将n划分成最大数不超过m（同1）

4.将n划分成若干奇正整数之和

将n划分成若干个正整数之和的改进版
我们首先需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0
其次，我们需要调整状态转换公式：
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m)+f(n,m-2); (n>m)
这是因为我们不能取偶数，故而当m为奇数的时候，m-1为偶数（只能被选择0次），f(n,m-1)=f(n,m-2);

5.将n划分成若干不同正整数之和

将n划分成若干个正整数之和的改进版
此时我们需要调整我们的状态转换公式。
f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m) 应该更改为：f(n-m,m-1)+f(n,m-1); (n>m)
为什么呢？因为每个数最多使用一次，f(n-m,m-1)表示我们取了数m，f(n,m-1)表示我们没取，但是
无论取不取数m我们以后都不会再次取数m了。
当然，我们还需要调整边界状态：当m=1时，f(n,m)=1；当n=1而m>1时，f(n,m)=0。
其他不变！

代码：

#include<stdio.h>

const int N=50;
const int maxn=55;
int dp1[maxn][maxn],dp2[maxn][maxn],dp3[maxn][maxn],dp4[maxn][maxn];

void init()
{
//将n划分成若干个正整数之和(将n划分成最大数不超过m)
dp1[0][0]=1;
for(int i=0; i<=N; ++i)
for(int j=1; j<=N; ++j)
{
if(j>i)
dp1[i][j]=dp1[i][i];
else
dp1[i][j]=dp1[i][j-1]+dp1[i-j][j];
}
//将n划分成m个正整数之和
dp2[0][0]=1;
for(int i=1; i<=N; ++i)
dp2[i][1]=1;
for(int i=2; i<=N; ++i)
for(int j=2; j<=i; ++j)
dp2[i][j]=dp2[i-1][j-1]+dp2[i-j][j];
//将n划分成若干奇正整数之和
for(int i=1; i<=N; ++i)
dp3[i][1]=1;
for(int i=1; i<=N; ++i)
dp3[0][i]=1;
dp3[0][0]=1;
for(int i=1; i<=N; ++i)
for(int j=2; j<=N; ++j)
{
if(j&1)
{
if(j>i)
{
if(i&1)
dp3[i][j]=dp3[i][i];
else
dp3[i][j]=dp3[i][i-1];
}
else
dp3[i][j]=dp3[i-j][j]+dp3[i][j-2];
}
else dp3[i][j]=dp3[i][j-1];
}
//将n划分成若干不同正整数之和
for(int i=1; i<=N; ++i)
{
dp4[0][i]=1;
dp4[1][i]=1;
}
for(int i=2; i<=N; ++i)
for(int j=1; j<=N; ++j)
{
if(j>i)
dp4[i][j]=dp4[i][i];
else
dp4[i][j]=dp4[i-j][j-1]+dp4[i][j-1];
}
}

int main()
{
init();
int n,k;
while(~scanf("%d%d",&n,&k))
{
printf("%d\n",dp1

);
printf("%d\n",dp2
[k]);
printf("%d\n",dp1
[k]);
printf("%d\n",dp3

);
printf("%d\n\n",dp4

);
}
return 0;
}

参考博客：

isiqi

苯苯的小木屋