HDU 5396 Expression（组合数学+区间DP）

Description

给出n个数和n-1个运算（+,-,*），可以任意加括号改变运算顺序，问所有不同运算顺序的结果之和

Input

多组用例，每组用例首先输入一整数n表示操作数的个数，之后n个整数a[i]表示操作数，然后输入一个长度为n-1的字符串op表示操作符，第i个字符是第i个操作数和第i+1个操作数之间的操作，以文件尾结束输入(2<=n<=100,0<=a[i]<=1e9)

Output

输出所有不同运算顺序的结果之和，结果模1e9+7

Sample Input

3

3 2 1

-+

5

1 4 6 8 3

+-

Sample Output

2

999999689

Solution

sum[i][j]表示i到j这些数在不用运算顺序下的结果之和，num[i][j]表示i到j这些数有多少种不同的运算顺序，考虑i到j中的第k次运算是该区间最后一次操作，那么问题分成两部分，只要确定i到k的一个运算顺序和k+1到j的一个运算顺序，就可以得到一个i到j的结果，且得到每一个结果的方案数是C(j-i-1,k-i)（在j-i-1次运算中选k-i次位置放置前k-i个运算，那么剩余运算的位置就固定了），根据第k次运算的不同有：

+：temp=sum[i][k]*num[k+1][j]+sum[i+1][j]*num[i][k]

-：temp=sum[i][k]*num[k+1][j]-sum[i+1][j]*num[i][k]

*：temp=sum[i][k]*sum[k+1][j]

进而有

sum[i][j]=Sum{ temp*C(j-i-1,k-i) },i<=k<=j-1

num[i][j]=Sum{ num[i][k]*num[k+1][j]*C(j-i-1,k-i) },i<=k<=j-1

Code

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<ctime>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 111
#define mod 1000000007ll
int n,a[maxn];
char op[maxn];
ll sum[maxn][maxn],num[maxn][maxn],C[maxn][maxn];
void init()
{
memset(C,0,sizeof(C));
C[0][0]=1;
for(int i=1;i<=100;i++)
{
C[i][0]=C[i][i]=1;
for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
}
}
int main()
{
init();
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
scanf("%s",op+1);
memset(sum,0,sizeof(sum));
memset(num,0,sizeof(num));
for(int i=1;i<=n;i++)sum[i][i]=a[i],num[i][i]=1;
for(int i=n-1;i>=1;i--)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
ll temp;
for(int k=i;k<j;k++)
{
if(op[k]=='+')temp=(num[k+1][j]*sum[i][k]%mod+num[i][k]*sum[k+1][j]%mod)%mod;
else if(op[k]=='-')temp=((num[k+1][j]*sum[i][k]%mod-num[i][k]*sum[k+1][j]%mod)%mod+mod)%mod;
else temp=sum[i][k]*sum[k+1][j]%mod;
sum[i][j]=(sum[i][j]+temp*C[j-i-1][k-i]%mod)%mod;
num[i][j]=(num[i][j]+num[i][k]*num[k+1][j]%mod*C[j-i-1][k-i]%mod)%mod;
}
}
printf("%lld\n",sum[1]
);
}
return 0;
}