康托展开

康托展开

对于一个长度为n的排列num[1..n]，其序号X为：

X = a[1]*(n-1)!+a[2]*(n-2)!+...+a[i]*(n-i)!+...+a[n-1]*1!+a
*0!
其中a[i]表示在num[i+1..n]中比num[i]小的数的数量

比如213：

num[] = {2, 1, 3}
a[] = {1, 0, 0}
X = 1 * 2! + 0 * 1! + 0 * 1! = 2

我们如果将3的全排列从0开始编号，2号对应的正是213。

逆康托展开

根据X的求值公式，可以推断：

a[i]≤n-i, a[i]*(n-i)!≤(n-i)*(n-i)!<(n-i+1)!

也就是说，如果我用X除以(n-1)!，得到商c和余数r。其中c就等于a[1]，r则等于后面的部分。

这样依次求解，就可以得到a[]数组了。

比如求解3的全排列中，编号为3的排列：

3 / 2! = 1 ... 1 => a[1] = 1

1 / 1! = 1 ... 0 => a[2] = 1

0 / 0! = 0 ... 0 => a[3] = 0

由于a[i]表示的是num[i+1..n]中比num[i]还小的数字。

那么只需要从num[1]开始，依次从尚未使用的数字中选取第a[i]+1小的数字填入就可以了！

紧接着上面的例子：

a[] = {1, 1, 0}

unused = {1, 2, 3}, a[1] = 1, num[1] = 2

unused = {1, 3}, a[2] = 1, num[2] = 3

unused = {1}, a[3] = 0, num[3] = 1
=> 2, 3, 1

231也确实是3的全排列中编号为3的排列。