杜教筛 学习小结

今年的GDKOI居然考了反演，还要用杜教筛，狠狠的把我骇了一跳， 

回来在51nod上随便点开几题看起来像是反演的题，发现都是要用杜教筛（这RP~）， 

好吧好吧，那就学杜教筛咯~

杜教筛的套路

有几个大家都很熟悉的式子： 

∑d|nμ(d)=[n=1]

根据这个，再写出一个式子： 

∑i=1n∑d|iμ(d)=1

∑i=1n∑j=1⌊ni⌋μ(j)=1

那么： 

∑i=1nμ(i)=1−∑i=2n∑j=1⌊ni⌋μ(j)

于是μ的前缀和就可以求了， 
其他就是乘了一些奇怪的数也差不多是这样化（见后文）。

记得加上哈希记忆化。 

其实并不用哈希， 

我们发现，因为我们预处理了至少n√个， 

所以我们要算的所有的数都是小于n√的， 

当我们在计算n的答案时，在计算过程中所要访问的所有数x，它的n/x的值都是唯一的， 

所以我们就直接用n/x作为它的哈希值， 

计算下一个答案时再清空即可，

关于狄利克雷卷积的先挖坑（逃）

复杂度

杜教筛的复杂度：O(n23) 

然而我并不会证明QwQ 

转载唐老师的博客 



【51nod 1244】莫比乌斯函数之和 

求： 

∑i=abμ(i)

这个直接求出1~b的减去1~(a-1)的即可。

其他例题

例题里面会有杜教筛其他情况的详细讲解（按难度排序） 
【51nod 1239】欧拉函数之和 

【BZOJ 3944】Sum（双倍经验） 
【51nod 1237】最大公约数之和 V3 
【51nod 1238】最小公倍数之和 V3 
【51NOD 1227】平均最小公倍数（双倍经验）