BZOJ 2048 数学（调和级数） 解题报告

2048: [2009国家集训队]书堆

Description



Input

第一行正整数 N M

Output

一行（有换行符），L，表示水平延伸最远的整数距离 (不大于答案的最大整数)

Sample Input

Input: 1 100

Output: 49

Input: 2 100

Output: 74

Sample Output

N <= 10^18

数据保证答案 < 10^6

【解题报告】

初中物理难度，很明显，

这一层之上所有书的左端点到它的距离和这一层上所有书的右端点到它的距离是相等的。

这样列方程解出前4层的解.为1/2,1/4,1/6,1/8;显然规律为1/(2*i)。

答案就是和。

这样我们可以用到一个叫做调和级数 的东西，

这是Euler(欧拉)在1734年，利用Newton的成果，首先获得了调和级数有限多项和的值。结果是：

1+1/2+1/3+1/4+...+1/n= ln(n+1)+r(r为常量)

他的证明是这样的：

根据Newton的幂级数有：

ln(1+1/x) = 1/x - 1/2x^2 + 1/3x^3 - ..

于是：

1/x = ln((x+1)/x) + 1/2x^2 - 1/3x^3 + ...

代入x=1,2,…,n，就给出：

给出：
1/1 = ln(2) + 1/2 - 1/3 + 1/4 -1/5 + ...
1/2 = ln(3/2) + 1/2*4 - 1/3*8 + 1/4*16 - ...
......
1/n = ln((n+1)/n) + 1/2n^2 - 1/3n^3 +...

相加，就得到：

得到：
1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + 1/2*(1+1/4+1/9+...+1/n^2) - 1/3*(1+1/8+1/27+...+1/n^3) + ...

后面那一串和都是收敛的，我们可以定义

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r

Euler近似地计算了r的值，约为约为0.57721566。这个数字就是后来称作的欧拉常数。

考虑到在n比较小是精度误差较大，我们可以直接暴力算出、

代码如下：

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define r 0.5772156649
#define eps 1e-8
long long n,m;
double ans=0.0;
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n<=1000)
for(int i=1;i<=n;++i) ans+=0.5/i;
else
{ans=log(n+1.0)+r;ans/=2.0;}
ans*=m;
printf("%d\n",(int)(ans-eps));
return 0;
}