POJ 1637 浅谈混合图欧拉回路网络流建模

世界真的很大

欧拉是个厉害的人

从数论到图论，欧拉函数到欧拉回路

欧拉回路好像是他在意大利的什么地方有7个岛搞出来的

但是这道题的解法和欧拉关系不大了，是网络流

所以说网络流也是一个神奇东西

先看一下题：

description：

给定一张有向边和无向边构成的混合图。求给其中的无向边给定方向是否能使其含有一条欧拉回路

input

一个数字T表示数据组数
每组数据第一行包含2个整数n，m，表示点数和边数
接下来m行，每行包括3个整数u，v，mrk，表示u，v之间有一条边，0是无向边，1是有向边

output

每组数据输出impossible或possible表示数据有无解

思路比较不好想

有大佬有更厉害的做法

但我就只知道听了老师的一知半解地yy了

首先要明白欧拉回路的充要条件，即充分，必要，就是每个点的出度等于入度

通过给出的有向边，我们能知道每个点的出入度情况，不妨把所有无向边都假设为有向边，统计一次出入度

必然有某些点的出度不等于入度的情况

可以通过更改某些无向边的方向来调整，如果使一条无向边的方向反过来，即某个点的出度会+1，入度会-1，所以如果统计下来某个点的出入度之差是奇数，那就不可能调整为出入度相等了，就肯定没有欧拉回路了

在所有点的出入度之差都为偶数的情况下，如果一个点的入度大于出度，就好像有些边进来了，却没有出去，即这个点需要流出边，流出边的数量正好是出入度之差的一半

同理有些点的出度大于入度，相当于流入的边不够流出，就需要流入，需要流入的边的数量正好是出入度之差的一半

初步建模就完成了，源点向所有入度大于出度的点连边，权值为其出入度之差的一半，代表有这么多的边需要流出

所有出度大于入度的点向汇点连边，权值为其出入度之差的一半，相当于有这么多的边需要流入

那么现在需要考虑进一步的调整问题了

对于一条本来是无向边的边（u，v），我们强行假设了这是一条有向边，从u到v，那换句话说只要（u，v）反向，就能使u的出度减少，入度增加；v的出度增加，入度减少。

换个思路吧

也就是说，只要存在（u，v）这条边，就有办法 调整 u和v的出入度关系，如果此时v的入度大于出度，即v与S建了边，有一定流量需要流出，因为（u，v）的存在，v的流量可以通过（u，v）反向的方式流到u，使u的入度增加，如果此时u是出度大于入度的话，正好是一种调整方式

进一步的建边思路就出来了

如果一开始假设无向边（u，v）是从u到v，那么就建一条v到u流量为1的边，表示v需要流出的流量可以通过边反向的方式流到u

接下来跑一遍dinic

如果求出的最大流是满流，就是所有需要流出的边都找到了流入的点，每个点的出度等于入度，就说明有一种方案了

完整代码：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<queue>
using namespace std;

const int INF=0x3f3f3f3f;

struct edge
{
int v,last,w;
}ed[100010];

queue <int> state;

int head[100010],dis[100010],in[100010],ou[100010];
int num=1,n,m,S,T,tot,ans,flag,Tt;

void init()
{
num=1,S=0,T=n+1,tot=0,ans=0,flag=0;
memset(head,0,sizeof(head));
memset(in,0,sizeof(in));
memset(ou,0,sizeof(ou));
}

void add(int u,int v,int w)
{
num++;
ed[num].v=v;
ed[num].w=w;
ed[num].last=head[u];
head[u]=num;
}

bool bfs()
{
while(state.size()) state.pop();
memset(dis,-1,sizeof(dis));
dis[S]=0;
state.push(S);
while(!state.empty())
{
int u=state.front();
state.pop();
for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
{
int v=ed[i].v;
if(dis[v]==-1&&ed[i].w>0)
{
dis[v]=dis[u]+1;
state.push(v);
}
}
}
if(dis[T]==-1) return 0;
return 1;
}

int dfs(int u,int low)
{
if(u==T || low==0) return low;
int a=0;
for(int i=head[u];i;i=ed[i].last)
{
int v=ed[i].v;
if(ed[i].w>0&&dis[v]==dis[u]+1)
{
int tmp=dfs(v,min(low,ed[i].w));
ed[i].w-=tmp;
ed[i^1].w+=tmp;
a+=tmp,low-=tmp;
if(low==0) return a;
}
}
if(low) dis[u]=-1;
return a;
}

int main()
{
scanf("%d",&Tt);
while(Tt--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
init();
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int u,v,mrk;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&mrk);
in[v]++,ou[u]++;
if(!mrk)
{
add(v,u,1);
add(u,v,0);
}
}
for(int i=1;i<=n;i++)
if(abs(in[i]-ou[i])&1)
{
flag=1;
break ;
}
else if(in[i]>ou[i])
{
add(S,i,(in[i]-ou[i])>>1);
add(i,S,0);tot+=(in[i]-ou[i])/2;

}
else if(in[i]<ou[i])
{
add(i,T,(ou[i]-in[i])>>1);
add(T,i,0);
}
if(flag)
{
printf("impossible\n");
continue ;
}
while(bfs())
ans+=dfs(S,INF);
if(ans!=tot) printf("impossible\n");
else printf("possible\n");
}
return 0;
}
/*
Whoso pulleth out this sword from this stone and anvil is duly born King of all England
*/

嗯，就是这样