【GDOI2018模拟7.9】相逢是问候

Description

Solution

首先需要了解欧拉定理的一个拓展：ax≡axmodϕ(P)+ϕ(P) (modP)（注：该公式只有在x≥ϕ(P)时成立，证明戳这里）

有了这个定理我们就可以很好地解决这道题，首先可以发现，操作几次之后，指数会变得非常大，而套用公式可以降低指数。同时我们可以发现，每一次操作都会模不同的数，套上公式可以发现，直接对指数的取模，模的值为若干个ϕ套在一起。同时可以发现，大概在套了26次以后，即对同一个位置操作26次之后，这个指数就会变成一个常值。我们可以预处理出每一个位置在进行若干次后的值，因为在26次之后的操作都将会是一个定值，问题就转化为对于某一些区间进行操作，每一次操作对应会有固定的值，而当某一整个区间的每一个元素操作数大于26次后，就可以直接跳过这个区间。

因为在预处理的时候需要用到快速幂，但是快速幂带了一个log，弄在一起会超时，所以要压掉（黑科技get）。

Code

#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<iostream>
using namespace std;
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
typedef long long ll;
const int N=5e4+5;
const ll Z=1<<14;//1<<16;
struct arr{
ll x;int sum;
}t[N*3];
ll P[30],C
[30],Q1[Z][30],Q2[Z][30];
ll cz,l,r,mo,c,a
,ans,ci;
int n,m,i,j,k,sum,len;
char re,ch[20];
void read(ll &x){
for(re=getchar();re<'0'||re>'9';re=getchar());
x=re-48;
for(re=getchar();re>='0'&&re<='9';re=getchar()) x=x*10+re-48;
}
void write(ll x){
len=0;memset(ch,0,sizeof(ch));
for(;x;x/=10) ch[++len]=x%10+'0';
for(;len;len--) putchar(ch[len]);
putchar('\n');
}
ll phi(ll x){
ll phi=x,t=x,i;
for(i=2;i*i<=t;i++) if(!(t%i)){
phi=phi/i*(i-1);
while(!(t%i)) t/=i;
}
phi=(t>1)?phi/t*(t-1):phi;
return phi;
}
ll ksm(ll x,ll y,ll mo){
ll z=1;
for(;y;y/=2,x=x*x%mo+(x*x>=mo)*mo)if(y&1)z=z*x%mo+(z*x>=mo)*mo;
return z;
}

void make(int l,int r,int wz){
if(l==r){t[wz].x=a[l]; return;}
int mid=(l+r)/2;
make(l,mid,wz*2);make(mid+1,r,wz*2+1);
t[wz].x=(t[wz*2].x+t[wz*2+1].x)%mo;
}
void change(int l,int r,int wz,int x,int y){
if(t[wz].sum>=sum) return;
if(l==r){t[wz].x=C[l][++t[wz].sum];return;}
int mid=(l+r)/2;
if(y<=mid) change(l,mid,wz*2,x,y);
else if(x>mid) change(mid+1,r,wz*2+1,x,y);
else{
change(l,mid,wz*2,x,mid);
change(mid+1,r,wz*2+1,mid+1,y);
}
t[wz].x=(t[wz*2].x+t[wz*2+1].x)%mo;
t[wz].sum=(t[wz*2].sum<t[wz*2+1].sum)?t[wz*2].sum:t[wz*2+1].sum;
}
void ask(int l,int r,int wz,int x,int y){
if(l==x&&r==y){ans=(ans+t[wz].x)%mo;return;}
int mid=(l+r)/2;
if(y<=mid) ask(l,mid,wz*2,x,y);
else if(x>mid) ask(mid+1,r,wz*2+1,x,y);
else{
ask(l,mid,wz*2,x,mid);
ask(mid+1,r,wz*2+1,mid+1,y);
}
}
void pre(){
P[0]=mo;while(P[sum]!=1) P[sum+1]=phi(P[sum]),sum++;P[++sum]=1;
fo(i,0,Z-1)fo(j,1,sum) Q1[i][j]=ksm(c,i*Z,P[j]),Q2[i][j]=ksm(c,i,P[j]);
fo(i,1,n){
C[i][0]=a[i];
fo(j,1,sum){
ci=a[i]%P[j]+(a[i]>=P[j])*P[j];
fd(k,j-1,1)
ci=Q1[ci/Z][k]*Q2[ci%Z][k]%P[k]+(Q1[ci/Z][k]*Q2[ci%Z][k]>=P[k])*P[k];
C[i][j]=ksm(c,ci,mo);/**/C[i][j]%=mo;
}
}
}
int main(){ scanf("%d%d%lld%lld",&n,&m,&mo,&c);
fo(i,1,n) read(a[i]);
pre();make(1,n,1);
while(m--){
read(cz),read(l),read(r);
if(!cz){
change(1,n,1,l,r);
continue;
}
ans=0;
ask(1,n,1,l,r);
if(!ans)printf("0\n");else write(ans);
}
}