莫比乌斯反演&欧拉筛法
2017-07-11 19:58
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(部分内容来源:PoPoQQQ)
有一个函数,
。
这个F(n)是好求的对吧。但是f(n)....如果只用F()来表达的话似乎就不好表达了_(:з」∠)_
而且就看一眼真的很难看出规律好伐!
于是,拯(fei)救(chang)苍(e)生(xin)的莫(meng)比乌斯反演就被用来拯(e)救(xin)我们了.....
是这样的,如果有一个上面这样的函数,那么.......
Wait!这东西里面那个μ()是什么鬼??
就是传说中的莫比乌斯函数,定义是这样的:
μ(d)=1(d=1)
-1(d=p1p2....pn,pi为互异质数)
0(其他情况)
莫比乌斯函数是积性函数(对任意x,y,gcd(x,y)=1,f(xy)=f(x)f(y))。
有一种优化,好像可以把复杂度降到
的样子。这里稍微给一下代码。
话说咱bb了这么多(?)都还没讲这个μ()怎么求,难道一个一个枚举?????
这绝对是要TLE的节奏好吗!
于是,就有了个用线性筛求这个μ()的代码。
说到筛法,可能比较广为人知的是埃xxxx(忘了)的用来判断质数的筛法,先给代码。
时间复杂度好像是O(n log log n)来着。(还算快
但是仍然有数会被筛几遍——比如12。(i=2时被筛一遍,i=3时又被筛一遍)
于是欧拉筛法就出炉了,每个合数只会被最小的质因数筛。
下为代码。
再然后,前面有说过μ()是积性函数,于是稍作修改就可以求μ()了。
一些题目:
bzoj/hysbz 2440
有一个函数,
。
这个F(n)是好求的对吧。但是f(n)....如果只用F()来表达的话似乎就不好表达了_(:з」∠)_
而且就看一眼真的很难看出规律好伐!
于是,拯(fei)救(chang)苍(e)生(xin)的莫(meng)比乌斯反演就被用来拯(e)救(xin)我们了.....
是这样的,如果有一个上面这样的函数,那么.......
Wait!这东西里面那个μ()是什么鬼??
就是传说中的莫比乌斯函数,定义是这样的:
μ(d)=1(d=1)
-1(d=p1p2....pn,pi为互异质数)
0(其他情况)
莫比乌斯函数是积性函数(对任意x,y,gcd(x,y)=1,f(xy)=f(x)f(y))。
有一种优化,好像可以把复杂度降到
的样子。这里稍微给一下代码。
if(n>m) swap(n,m); for(i=1;i<=n;i=last+1) { last=min(n/(n/i),m/(m/i)); re+=(n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]); }
话说咱bb了这么多(?)都还没讲这个μ()怎么求,难道一个一个枚举?????
这绝对是要TLE的节奏好吗!
于是,就有了个用线性筛求这个μ()的代码。
说到筛法,可能比较广为人知的是埃xxxx(忘了)的用来判断质数的筛法,先给代码。
for(int i=2;i<=10000;i++) if(!p[i]) for(int j=i;j*i<=10000;j++) p[i*j]=1;
时间复杂度好像是O(n log log n)来着。(还算快
但是仍然有数会被筛几遍——比如12。(i=2时被筛一遍,i=3时又被筛一遍)
于是欧拉筛法就出炉了,每个合数只会被最小的质因数筛。
下为代码。
for(i=2;i<=50000;i++) { if(!p[i]) pm[++ps]=i; for(j=1;j<=ps&&i*pm[j]<=50000;j++) { p[i*pm[j]]=1; if(i%pm[j]==0) break; } }
再然后,前面有说过μ()是积性函数,于是稍作修改就可以求μ()了。
mob[1]=1; for(i=2;i<=50000;i++) { if(!p[i]) {pm[++ps]=i;mob[i]=-1;} for(j=1;j<=ps&&i*pm[j]<=50000;j++) { p[i*pm[j]]=1; if(i%pm[j]==0) {mob[i*pm[j]]=0;break;} else mob[i*pm[j]]=-mob[i]; } }
一些题目:
bzoj/hysbz 2440
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