算法导论第16章练习题 16.1-4
2017-07-11 18:04
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16.1-4 假设有一组活动,我们需要将它们安排到一些教室,任意活动都可以在任意教室进行。我们希望使用最少的教室来完成活动。设计一个高效的贪心算法,求每个活动应该在哪个教室来进行。
(这个问题也被称为区间图着色问题。我们可以作出一个区间图,其顶点为已知的活动,其边连接着不兼容的活动。要求使用最少的颜色对顶点进行着色,使得所有相邻顶点颜色均不相同——这与使用最少的教室完成所有的活动的问题是对应的。)
下面内容翻译于算法导论教师手册的练习题答案(翻了个大意,可能会有翻译的不准确的地方)。
解答:
设S是n个活动的集合。
“显而易见”的解法是使用前面章节的贪心算法,来找到S中的一个最大兼容活动集合S1,S1中的活动全部放在第1个教室进行,然后在找到S-S1中的另一个最大兼容活动集合S2……(直到所有活动都被分配),最坏时间是Θ(n^2)。此外,有可能得到的教室个数不是最少的。例如:
考虑活动集合{ [1 , 4) , [2 , 5) ,[6 , 7) ,[4 , 8) }。贪心算法会选择[1 , 4),[6 , 7)放在第一个教室,另外两个活动每个分别是第二第三个教室,一共需要3个教室。而最优解是 [1 , 4) ,[4 , 8) 放在第一个教室,[2 , 5) ,[6 , 7)放在第二个教室,一共需要2个教室。
正确的算法是下面这样,其渐进时间只是将活动按时间来进行排序的时间。
一般的想法是按照活动开始时间进行遍历,把每个活动分配到那个时刻空闲的教室。将每个活动的开始时间和结束时间放在一起按时间排序,然后遍历整个时间表。同时维护两个列表:在时刻t空闲的教室列表(free),和已经安排了活动i的教室列表(busy)(活动i开始时间si<=t , 而且结束时间fi>t)。当t是某个活动的开始时刻时,把该活动分配到一个空闲教室,然后把该教室从free列表中移到busy列表。当t是某个活动的结束时刻时,把该活动分配的教室 ,从busy列表中移到free列表中。
为了避免使用额外不必要的教室,在分配教室时,总是分配已经办过活动的教室,如果没有,再启用新教室(可以通过这样的方式来达到此目的:讲空闲教室从free列表中移出或移进,都在列表头进行)
这就保证了使用尽可能少的教室:这个算法会使用m个教室(m<=n),设活动i是被分配给教室m的第一个活动,活动i在教室m中进行的原因是在活动i开始时间si时,前m-1个教室都有活动在进行。所以此刻一共有m个活动在同时进行。因此任何分配方式都至少需要m个教室,因此这个算法的结果是最优的。
Run Time:
排序2n个时间(n个活动的开始和结束时间)。(若某个活动i的结束时间和另一个活动j的开始时间相同,那么活动i结束时间排在前面,一般是O(nlgn),也可能是O(n))
在O(n)内处理活动:扫描2n个时间点,O(1)维护两个教室列表(free,busy)
Total:O(n+排序时间)
代码如下:
(这个问题也被称为区间图着色问题。我们可以作出一个区间图,其顶点为已知的活动,其边连接着不兼容的活动。要求使用最少的颜色对顶点进行着色,使得所有相邻顶点颜色均不相同——这与使用最少的教室完成所有的活动的问题是对应的。)
下面内容翻译于算法导论教师手册的练习题答案(翻了个大意,可能会有翻译的不准确的地方)。
解答:
设S是n个活动的集合。
“显而易见”的解法是使用前面章节的贪心算法,来找到S中的一个最大兼容活动集合S1,S1中的活动全部放在第1个教室进行,然后在找到S-S1中的另一个最大兼容活动集合S2……(直到所有活动都被分配),最坏时间是Θ(n^2)。此外,有可能得到的教室个数不是最少的。例如:
考虑活动集合{ [1 , 4) , [2 , 5) ,[6 , 7) ,[4 , 8) }。贪心算法会选择[1 , 4),[6 , 7)放在第一个教室,另外两个活动每个分别是第二第三个教室,一共需要3个教室。而最优解是 [1 , 4) ,[4 , 8) 放在第一个教室,[2 , 5) ,[6 , 7)放在第二个教室,一共需要2个教室。
正确的算法是下面这样,其渐进时间只是将活动按时间来进行排序的时间。
一般的想法是按照活动开始时间进行遍历,把每个活动分配到那个时刻空闲的教室。将每个活动的开始时间和结束时间放在一起按时间排序,然后遍历整个时间表。同时维护两个列表:在时刻t空闲的教室列表(free),和已经安排了活动i的教室列表(busy)(活动i开始时间si<=t , 而且结束时间fi>t)。当t是某个活动的开始时刻时,把该活动分配到一个空闲教室,然后把该教室从free列表中移到busy列表。当t是某个活动的结束时刻时,把该活动分配的教室 ,从busy列表中移到free列表中。
为了避免使用额外不必要的教室,在分配教室时,总是分配已经办过活动的教室,如果没有,再启用新教室(可以通过这样的方式来达到此目的:讲空闲教室从free列表中移出或移进,都在列表头进行)
这就保证了使用尽可能少的教室:这个算法会使用m个教室(m<=n),设活动i是被分配给教室m的第一个活动,活动i在教室m中进行的原因是在活动i开始时间si时,前m-1个教室都有活动在进行。所以此刻一共有m个活动在同时进行。因此任何分配方式都至少需要m个教室,因此这个算法的结果是最优的。
Run Time:
排序2n个时间(n个活动的开始和结束时间)。(若某个活动i的结束时间和另一个活动j的开始时间相同,那么活动i结束时间排在前面,一般是O(nlgn),也可能是O(n))
在O(n)内处理活动:扫描2n个时间点,O(1)维护两个教室列表(free,busy)
Total:O(n+排序时间)
代码如下:
class TimePoint(): def __init__(self,n,time,isStart=True,classroom=-1): self.activity=n #活动号 self.time=time #时间点 self.classroom=classroom #被分配的教室号 self.isStart=isStart #是否是开始时间 #对时间点排序 def pointSort(timePointList,activityList): n=len(activityList) for i in range(n): timePointList.append(TimePoint(i,activityList[i][0])) timePointList.append(TimePoint(i,activityList[i][1],False)) p=sor a8c8 ted(timePointList,key=lambda point: point.time)#使用的python内置sorted进行排序 for i in range(2*n-1):#调整时间点相同时,将结束时间排在前面 if p[i].time==p[i+1].time and p[i].isStart==True and p[i+1].isStart==False: temp=p[i+1];p[i+1]=p[i];p[i]=temp return p #分配过程 def allocation(timePointList,free,busy): classroom=0 #分配的教室最开始是0(没有教室) for timePoint in timePointList: #遍历时间点 #如果该时间点是某个活动开始时间 if timePoint.isStart==True: if len(free)>0: #如果free非空 busy.append(free[0]) #将free中第一个教室移动到busy中 timePoint.classroom=free[0] #记录该活动在哪个教室进行(这里只标记了该活动的开始时间点) free.pop(0) #将该教室从free中删除 else: #如果free空的 classroom+=1 #启用一个新教室 busy.append(classroom) timePoint.classroom=classroom #下面的循环是将该活动的结束时间点也标记上在哪个教室进行 for x in [ i for i in timePointList if i!=timePoint]: if x.activity==timePoint.activity: x.classroom=timePoint.classroom break print 'free',free print 'busy',busy #该时间点是某个活动结束时间 else: free.insert(0,timePoint.classroom) #将busy中的该活动进行的教室移动到free中的第一个 busy.remove(timePoint.classroom) #从busy中删除该教室 print 'free',free print 'busy',busy return classroom #最后classroom就是所需要的最少教室数 if __name__ == '__main__': free=[] busy=[] timePointList=[] activityList=[[1,4],[2,5],[6,7],[4,8],[9,10],[2,3]] timePointList=pointSort(timePointList,activityList) number=allocation(timePointList,free,busy) print number
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