8.8 精确的4SAT问题的NP-完全性证明

问题：在精确的 4SAT 问题中，输入为一组子句，，每个字句都是恰好4个文字的析取，且每个变量最多在每个子句中出现一次。目标是求它的满足赋值——如果该赋值存在。

证明精确的 4SAT 是NP-完全问题。

证明如下：由于 3SAT 问题是 NP - 完全问题，所以如果能够从 3SAT 归约到精确的 4SAT 问题，那么精确的 4SAT 问题也是 NP - 完全问题。

下面是归约过程：

第一步：确保精确性。

对3SAT问题的每个子句集，如果有多个相同文字，缩减为一个；如果文字和文字的否定都有，两者都去掉。

第二步：子句扩充。

对每个子句集，加入一些无关文字扩充成含有四个文字的子句集，如：

，

显然这些扩充是可以在多项式时间内完成的。

这样就把一个3SAT问题归约成了精确的4SAT问题，因为3SAT问题是NP - 完全的，所以精确的4SAT问题也是NP - 完全的。