BZOJ 2440 中山市选2011 全然平方数 二分答案+容斥原理+莫比乌斯反演
2017-07-11 08:16
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题目大意:求第k个无平方因子数是多少(无视原题干。1也是全然平方数那岂不是一个数也送不出去了?
无平方因子数(square-free number),即质因数分解之后全部质因数的次数都为1的数
首先二分答案 问题转化为求x以内有多少个无平方因子数
依据容斥原理可知 对于√x以内的全部质数 x以内的无平方因子数=无需是不论什么质数的倍数的数的数量(即x)-是至少一个质数平方倍数的数的数量+是至少两个质数平方倍数的数的数量-是至少三个质数平方倍数的数的数量...
我们回去考虑莫比乌斯函数,我们发现每个质数乘积的符号与莫比乌斯函数的符号恰好吻合!
于是我们枚举每个数,假设这个数是奇数个不同质数的乘积,那么mu为负,偶数个则mu为正。否则mu为零
故答案即Σx/(i*i)*mu[i]
大早上起来连线性筛都打不正确我也是醉了。。。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #define M 44723 using namespace std; int mu[M]={0,1},prime[M],tot; bool not_prime[M]; void Linear_Shaker() { int i,j; for(i=2;i<M;i++) { if(!not_prime[i]) mu[i]=-1,prime[++tot]=i; for(j=1;prime[j]*i<M;j++) { not_prime[prime[j]*i]=1; if(i%prime[j]==0) { mu[prime[j]*i]=0; break; } mu[prime[j]*i]=-mu[i]; } } } int Judge(int x) { int i,re=0; for(i=1;i*i<=x;i++) re+=x/(i*i)*mu[i]; return re; } int Bisection(int k) { int l=1,r=k<<1; while(l+1<r) { int mid=(l>>1)+(r>>1)+(l&r&1); if( Judge(mid)>=k ) r=mid; else l=mid; } if( Judge(l)>=k ) return l; return r; } int main() { int T,k; Linear_Shaker(); for(cin>>T;T;T--) { scanf("%d",&k); printf("%d\n",Bisection(k) ); } return 0; }
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