bzoj 4568 [SCOI 2016] 幸运数字

题目大意

给定一棵\(n\)个点的树，每个点有权值

\(q\)次询问树上路径中

每个点权值可选可不选的最大异或和

\(n\le 2*10^4,q\le 2*10^5,val[i]\le 2^{60}\)

分析

线性基

但数据范围不太对啊woc

两线性基合并\(O(60^2)\)

如果 树剖+线性基 则\(O(q\log^2n ~60^2)\)

如果 树上倍增+线性基 则是一个常数较大的\(O(q\log n~60^2)\)

不是很妙啊

做法1

注意到，这不是常规的树上询问，因为是异或(线性基)

线性基同一个值重复插入时没有问题的

即树上某一段算重是可以的

那么我们可以这样算



其中橙色部分时一个长度\(2^k\)的段

这样就只用统计\(4\)次了

复杂度\(O(4*60^2~q)\)

做法2

点分治

求出重心到每个点的线性基\(O(60n)\)

然后解决询问

如果询问与该重心有关，单次\(O(60^2)\)

否则将该询问传到儿子

点分每层扫过的询问数\(O(q)\)的

总复杂度

\(O(60n\log n~+~q \log n~+~60^2 q)\)

solution 1

#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int M=2e4+7;
const int B=60;
typedef long long LL;

inline int rd(){
int x=0;bool f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
return f?x:-x;
}

inline LL lrd(){
LL x=0;bool f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
return f?x:-x;
}

struct vec{
int g[M],te;
struct edge{
int y,nxt;
edge(int _y=0,int _nxt=0){
y=_y,nxt=_nxt;
}
}e[M<<1];
vec(){memset(g,0,sizeof g);te=0;}
inline void push(int x,int y){e[++te]=edge(y,g[x]);g[x]=te;}
inline void push2(int x,int y){push(x,y);push(y,x);}
inline int& operator () (int x){return g[x];}
inline edge& operator [] (int x){return e[x];}
}e;

struct Base{
LL a[B+3];
Base(){memset(a,0,sizeof a);}
void ins(LL x){
for(int i=B;i>=0;i--) if(x>>i&1){
if(a[i]) x^=a[i];
else {a[i]=x;return;}
}
}

LL getmx(){
LL res=0; int i;
for(i=B;i>=0;i--) if((res^a[i])>res) res^=a[i];
return res;
}

friend Base merge(const Base &x,const Base &y){
Base res; int i;
for(i=B;i>=0;i--) if(x.a[i]) res.ins(x.a[i]);
for(i=B;i>=0;i--) if(y.a[i]) res.ins(y.a[i]);
return res;
}

friend Base merge(const Base &x,const LL &y){
Base res=x;
res.ins(y);
return res;
}
};

int n,m,D;
LL val[M];
int dep[M];
int pre[M][15];
Base f[M][15];

void dfs(int x){
int p,y;
for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
if((y=e[p].y)!=pre[x][0]){
dep[y]=dep[x]+1;
pre[y][0]=x;
f[y][0].ins(val[y]);
dfs(y);
}
}

void init(){
D=(int)log2(n);
int i,j;
for(j=1;j<=D;j++)
for(i=1;i<=n;i++){
pre[i][j]=pre[pre[i][j-1]][j-1];
f[i][j]=merge(f[i][j-1],f[pre[i][j-1]][j-1]);
}
}

int LCA(int x,int y){
int i;
if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
for(i=D;i>=0;i--)
if(dep[pre[x][i]]>=dep[y]) x=pre[x][i];
if(x==y) return x;
for(i=D;i>=0;i--)
if(pre[x][i]!=pre[y][i]) x=pre[x][i],y=pre[y][i];
return pre[x][0];
}

int jp(int x,int kth){
for(int i=D;i>=0;i--) if(kth>>i&1) x=pre[x][i];
return x;
}

Base calc(int x,int to){
for(int i=D;i>=0;i--) if(dep[pre[x][i]]>=dep[to]){
int y=jp(x,dep[pre[x][i]]-dep[to]);
return merge(f[x][i],f[y][i]);
}
return Base();
}

LL get(int x,int y){
Base res;
int lca=LCA(x,y),i;
res=merge(merge(calc(x,lca),calc(y,lca)),val[lca]);
return res.getmx();
}

int main(){

int i,x,y;

n=rd(),m=rd();
for(i=1;i<=n;i++) val[i]=lrd();

for(i=1;i<n;i++) e.push2(rd(),rd());

pre[1][0]=0; dep[1]=1;
dfs(1);
init();

for(i=1;i<=m;i++){
x=rd(),y=rd();
printf("%lld\n",get(x,y));
}

return 0;
}

solution 2

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=2e5+7;
const int M=2e4+7;
const int B=60;
typedef long long LL;

inline int ri(){
int x=0;bool f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
return f?x:-x;
}

inline LL rl(){
LL x=0;bool f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=0;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-48;
return f?x:-x;
}

struct vec{
int g[M],te;
struct edge{
int y,nxt;
edge(int _y=0,int _nxt=0){y=_y,nxt=_nxt;}
}e[M<<1];
vec(){memset(g,0,sizeof g);te=0;}
inline void push(int x,int y){e[++te]=edge(y,g[x]);g[x]=te;}
inline void push2(int x,int y){push(x,y);push(y,x);}
inline int& operator () (int x){return g[x];}
inline edge& operator [] (int x){return e[x];}
}e;

struct vec2{
int g[M],te;
struct ques{
int x,y,id,nxt;
ques(int _x=0,int _y=0,int _id=0,int _nxt=0){x=_x,y=_y,id=_id,nxt=_nxt;}
}e[N*17];
vec2(){memset(g,0,sizeof g);te=0;}
inline void push(int u,int x,int y,int id){e[++te]=ques(x,y,id,g[u]);g[u]=te;}
inline int& operator () (int x){return g[x];}
inline ques& operator [] (int x){return e[x];}
}ask;

struct Base{
LL a[B+3];

Base(){memset(a,0,sizeof a);}
void clear(){memset(a,0,sizeof a);}

void ins(LL x){
for(int i=B;i>=0;i--) if(x>>i&1){
if(a[i]) x^=a[i];
else {a[i]=x;break;}
}
}

LL getmx(){
LL res=0;
for(int i=B;i>=0;i--) if((res^a[i])>res) res^=a[i];
return res;
}

friend Base merge(const Base &x,const Base &y){
Base res;
for(int i=B;i>=0;i--) if(x.a[i]) res.ins(x.a[i]);
for(int i=B;i>=0;i--) if(y.a[i]) res.ins(y.a[i]);
return res;
}

friend Base merge(const Base &x,const LL &y){
Base res=x;
res.ins(y);
return res;
}
};

int n,m;
LL val[M];
int sz[M];
int mi,size,rt;
bool vis[M];
int bl[M];
LL ans
;
Base f[M];

LL calc(int x,int y){
Base res=merge(f[x],f[y]);
return res.getmx();
}

void getsz(int x,int fa){
sz[x]=1;
int p,y;
for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
if((y=e[p].y)!=fa&&!vis[y]){
getsz(y,x);
sz[x]+=sz[y];
}
}

void getrt(int x,int fa){
int f=size-sz[x],p,y;
for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
if((y=e[p].y)!=fa&&!vis[y]){
getrt(y,x);
f=max(f,sz[y]);
}
if(f<mi) mi=f,rt=x;
}

void dfs(int x,int fa){
f[x]=merge(f[fa],val[x]);
int p,y;
for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
if((y=e[p].y)!=fa&&!vis[y]) bl[y]=bl[x],dfs(y,x);
}

void work(int fr){
getsz(fr,0);
mi=size=sz[fr];
getrt(fr,0);
int x=rt,i,p,y;
vis[x]=1;

bl[x]=x;
f[x].clear(); f[x].ins(val[x]);
if(x!=fr) {ask(x)=ask(fr); ask(fr)=0;}//

for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
if(!vis[y=e[p].y]){
bl[y]=y;
dfs(y,x);
}

for(p=ask(x);p;p=ask[p].nxt){
if(bl[ask[p].x]==bl[ask[p].y]) ask.push(bl[ask[p].x],ask[p].x,ask[p].y,ask[p].id);
else ans[ask[p].id]=calc(ask[p].x,ask[p].y);
}

for(p=e(x);p;p=e[p].nxt)
if(!vis[y=e[p].y]) work(y);
}

int main(){

int i,x,y;
n=ri(),m=ri();
for(i=1;i<=n;i++) val[i]=rl();

for(i=1;i<n;i++) e.push2(ri(),ri());

for(i=1;i<=m;i++){
x=ri(), y=ri();
if(x==y) ans[i]=val[x];
else ask.push(1,x,y,i);
}

work(1);

for(int i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);

return 0;
}